ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если её первый член \(b_1 = 5\), а знаменатель прогрессии \(q = 3\).

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1 = 5 \), \( q = 3 \), \( S_n = 605 \);

Количество членов прогрессии:

\( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \)

\( 605 = 5 \frac{3^n — 1}{3 — 1} \)

\( 605 = 5 \frac{3^n — 1}{2} \)

\( 121 = \frac{3^n — 1}{2} \)

\( 242 = 3^n — 1 \)

\( 3^n = 243 \)

\( 3^n = 3^5 \)

\( n = 5 \)

Ответ: 5.

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1 = 5 \), \( q = 3 \), \( S_n = 605 \). Необходимо найти количество членов прогрессии \( n \).

Для геометрической прогрессии сумма первых \( n \) членов определяется формулой: \( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Подставим известные значения: \( b_1 = 5 \), \( q = 3 \), \( S_n = 605 \). Получаем уравнение: \( 605 = 5 \frac{3^n — 1}{3 — 1} \).

Упростим выражение в знаменателе: \( 3 — 1 = 2 \). Тогда уравнение принимает вид: \( 605 = 5 \frac{3^n — 1}{2} \). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: \( 605 \cdot 2 = 5 (3^n — 1) \), то есть \( 1210 = 5 (3^n — 1) \).

Теперь разделим обе части на 5, чтобы выделить выражение с неизвестной степенью: \( \frac{1210}{5} = 3^n — 1 \), что дает \( 242 = 3^n — 1 \).

Прибавим 1 к обеим частям уравнения, чтобы получить \( 3^n \) в чистом виде: \( 242 + 1 = 3^n \), то есть \( 3^n = 243 \).

Теперь нужно определить, какое значение \( n \) удовлетворяет уравнению \( 3^n = 243 \). Мы знаем, что \( 3^5 = 243 \), так как \( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243 \). Следовательно, \( n = 5 \).

Проверим правильность решения, подставив \( n = 5 \) в исходную формулу суммы: \( S_5 = 5 \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 5 \frac{243 — 1}{2} = 5 \frac{242}{2} = 5 \cdot 121 = 605 \). Значение совпадает с заданным, значит, решение верно.

Ответ: 5.