ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) \(\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, …\);
2) \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, …\).

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; \ldots;\)

\(b_1 = \sqrt{2}, \quad b_2 = -1;\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{1}{\sqrt{2}};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2(\sqrt{2} — 1)}{2 — 1} = 2(\sqrt{2} — 1);\)

Ответ: \(2(\sqrt{2} — 1).\)

2) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\( b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \), \( b_2 = 1 \);
\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{\frac{(\sqrt{3} + 1) — (\sqrt{3} — 1)}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2 (\sqrt{3} — 1)} =\)
\(= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 — 1^2}=\)
\( = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 — 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \).
Ответ: \( \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \).

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии необходимо помнить, что сумма существует и конечна только в том случае, если абсолютное значение знаменателя прогрессии \(q\) строго меньше единицы, то есть \(|q| < 1\). Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\) записывается как \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Рассмотрим подробно каждый из приведённых примеров. В первом примере дана прогрессия с первым членом \(b_1 = \sqrt{2}\) и вторым членом \(b_2 = -1\). Чтобы найти знаменатель \(q\), нужно разделить второй член на первый: \(q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\). Видно, что \(|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1\), значит сумма существует. Подставляем значения в формулу суммы: \[ S = \frac{\sqrt{2}}{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}. \] Для удобства приводим знаменатель к общему виду: \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}. \] Тогда сумма равна: \[ S = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1}. \] Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} - 1\): \[ S = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 2(\sqrt{2} - 1). \] Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(2(\sqrt{2} - 1)\). Во втором примере первый член прогрессии задан как \(b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\), а второй член \(b_2 = 1\). Найдём знаменатель прогрессии: \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}. \] Проверяем условие сходимости: \(|q| < 1\). Поскольку числитель и знаменатель положительны, и \(\sqrt{3} - 1 < \sqrt{3} + 1\), условие выполняется. Для нахождения суммы воспользуемся формулой: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}}. \] Вычислим знаменатель дроби: \[ 1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}. \] Подставляя обратно, получаем: \[ S = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2(\sqrt{3} - 1)}. \] Раскроем квадрат в числителе: \[ (\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}. \] Тогда сумма равна: \[ S = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}. \] Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + 1\): \[ S = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2}. \] Итоговый ответ: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(\frac{3\sqrt{3} + 5}{2}\). Таким образом, оба примера демонстрируют применение базовой формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии с тщательной проверкой условия сходимости и рационализацией выражений для удобства записи результата. В первом случае знаменатель был отрицательным дробным числом, а во втором — дробью с иррациональными выражениями, что потребовало аккуратной работы с корнями и приведением к удобному виду.