ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) \(\sqrt{2}, -1, \frac{1}{\sqrt{2}}, …\);
2) \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, …\).

1) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\( b_1 = \sqrt{2} \), \( b_2 = -1 \);
\( \sqrt{2} + (-1) + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{-1}{4} + \dots \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{2}}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \).
Ответ: \( \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \).

2) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\( b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \), \( b_2 = 1 \);
\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{\frac{(\sqrt{3} + 1) — (\sqrt{3} — 1)}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2 (\sqrt{3} — 1)} =\)
\(= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (\sqrt{3} — 1)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} — 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 — 1^2}=\)
\( = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 — 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \).
Ответ: \( \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \).

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии рассмотрим заданные условия: первый член прогрессии \( b_1 = \sqrt{2} \), второй член \( b_2 = -1 \). Последовательность выглядит как \( \sqrt{2}, -1, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{-1}{4}, \dots \). Наша задача — определить сумму \( S \) этой прогрессии.

Сначала найдем знаменатель прогрессии \( q \), который является отношением второго члена к первому: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Можно заметить, что каждый последующий член получается умножением предыдущего на \( -\frac{1}{2} \), так как \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-1) \), но для точности используем \( q = -\frac{1}{2} \), что подтверждается последовательностью.

Для бесконечной геометрической прогрессии с \( |q| < 1 \) сумма вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Подставим значения: \( S = \frac{\sqrt{2}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} \). Упростим дробь: \( \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \). Таким образом, сумма прогрессии равна \( \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \). Ответ: \( \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \). 2) Рассмотрим вторую бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \) и вторым членом \( b_2 = 1 \). Наша цель — найти сумму \( S \) этой прогрессии. Сначала определим знаменатель прогрессии \( q \), который равен отношению второго члена к первому: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \). Это значение \( q \) меньше 1 по модулю, что позволяет использовать формулу суммы бесконечной прогрессии. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Подставим значения: \( S = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}} \). Упростим знаменатель: \( 1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \). Теперь выражение для суммы принимает вид: \( S = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2 (\sqrt{3} - 1)} \). Раскроем числитель: \( (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \), и получим \( S = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \). Чтобы упростить дальше, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} + 1 \): \( S = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{5 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \). Таким образом, сумма прогрессии равна \( \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \). Ответ: \( \frac{3\sqrt{3} + 5}{2} \).