ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 256, а сумма трёх её первых членов равна 252. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия: \( S = 256 \), \( S_3 = 252 \);

1) Сумма всех членов прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} \); \( 256 = \frac{b_1}{1 — q} \); \( b_1 = 256(1 — q) \);

2) Сумма трех первых членов:
\( S_3 = b_1 \frac{q^3 — 1}{q — 1} \); \( 252 = 256(1 — q) \frac{q^3 — 1}{q — 1} \); \( 252 = 256(1 — q^3) \); \( \frac{63}{64} = 1 — q^3 \);
\( q^3 = 1 — \frac{63}{64} \); \( q^3 = \frac{1}{64} \); \( q = \frac{1}{4} \);
\( b_1 = 256 \cdot \left(1 — \frac{1}{4}\right) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 192 \);

ОТВЕТ: \( b_1 = 192 \); \( q = \frac{1}{4} \).

Дана геометрическая прогрессия, где сумма всех членов прогрессии равна \( S = 256 \), а сумма первых трех членов равна \( S_3 = 252 \). Необходимо найти первый член прогрессии \( b_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \).

1) Сумма всех членов прогрессии.
Для геометрической прогрессии сумма бесконечного числа членов (при условии, что \( |q| < 1 \)) вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). В данном случае нам известно, что \( S = 256 \), следовательно, можно записать уравнение \( 256 = \frac{b_1}{1 - q} \). Выразим \( b_1 \) через \( q \): умножим обе части уравнения на \( (1 - q) \), получаем \( b_1 = 256(1 - q) \). Это первое уравнение, которое связывает \( b_1 \) и \( q \). 2) Сумма трех первых членов. Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии определяется формулой \( S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \). Для \( n = 3 \) имеем \( S_3 = b_1 \frac{q^3 - 1}{q - 1} \). По условию задачи \( S_3 = 252 \), поэтому запишем уравнение \( 252 = b_1 \frac{q^3 - 1}{q - 1} \). Подставим значение \( b_1 = 256(1 - q) \), полученное из первого уравнения, в это выражение: \( 252 = 256(1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} \). Заметим, что \( \frac{q^3 - 1}{q - 1} = \frac{(q - 1)(q^2 + q + 1)}{q - 1} = q^2 + q + 1 \), но для упрощения можно оставить выражение в исходном виде и продолжить решение. Теперь преобразуем уравнение \( 252 = 256(1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} \). Умножим обе части на \( (q - 1) \), чтобы избавиться от знаменателя: \( 252(q - 1) = 256(1 - q)(q^3 - 1) \). Однако это может усложнить вычисления, поэтому вернемся к предыдущему шагу и попробуем упростить по-другому. Разделим обе части уравнения \( 252 = 256(1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} \) на 256: \( \frac{252}{256} = (1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} \). Упростим дробь \( \frac{252}{256} = \frac{63}{64} \), и заметим, что \( (1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} = \frac{(1 - q)(q^3 - 1)}{q - 1} \). Поскольку \( q^3 - 1 = (q - 1)(q^2 + q + 1) \), то \( \frac{q^3 - 1}{q - 1} = q^2 + q + 1 \), но мы можем записать \( (1 - q) \frac{q^3 - 1}{q - 1} = \frac{(1 - q)(q^3 - 1)}{q - 1} = \frac{-(q - 1)(q^3 - 1)}{q - 1} = -(q^3 - 1) = 1 - q^3 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( \frac{63}{64} = 1 - q^3 \). Решаем для \( q^3 \): \( q^3 = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64} \). Следовательно, \( q = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4} \), так как \( \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \). Теперь, зная \( q = \frac{1}{4} \), подставим это значение в выражение для \( b_1 \): \( b_1 = 256(1 - q) = 256 \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 256 \cdot \frac{3}{4} = 192 \). Ответ: \( b_1 = 192 \); \( q = \frac{1}{4} \).