ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_2 b_4 = 36\) и \(b_3 + b_5 = 8\).

1) Выполняются неравенства: \( b_3 + b_5 > 0 \); \( b_3 > 0 \), \( b_5 > 0 \);

2) Первое уравнение:
\( b_2 b_4 = 36 \); \( b_2 b_4 = 36 \); \( b_3 = 6 \);

3) Второе уравнение:
\( b_3 + b_5 = 8 \); \( 6 + b_5 = 8 \); \( b_5 = 2 \);
\( b_1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b_1} = 6 \cdot (-3) = 18 \);

4) Сумма прогрессии:
\( S_1 = 1 + 3 + \frac{1}{18\sqrt{3}} \);
\( S_1 = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 9(3 — \sqrt{3}) = 27 — 9\sqrt{3} \);
\( S_2 = \frac{18\sqrt{3}}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = 9(3 + \sqrt{3}) = 27 + 9\sqrt{3} \);
Ответ: \( 27 — 9\sqrt{3} \); \( 27 + 9\sqrt{3} \).

1) Дано, что выполняются неравенства: \( b_3 + b_5 > 0 \); \( b_3 > 0 \), \( b_5 > 0 \). Это означает, что члены геометрической прогрессии \( b_3 \) и \( b_5 \) положительны, а их сумма также больше нуля. Эти условия помогают определить возможные значения знаменателя прогрессии и ограничить область решений.

2) Рассмотрим первое уравнение, связанное с произведением членов прогрессии: \( b_2 b_4 = 36 \). В геометрической прогрессии каждый член связан со следующим через общий знаменатель \( q \), то есть \( b_2 = b_1 q \), \( b_3 = b_1 q^2 \), \( b_4 = b_1 q^3 \), \( b_5 = b_1 q^4 \). Подставляя выражения для \( b_2 \) и \( b_4 \), получаем \( (b_1 q)(b_1 q^3) = b_1^2 q^4 = 36 \). Также нам известно, что \( b_3 = b_1 q^2 = 6 \). Это дает возможность выразить \( b_1 \) через \( q \) или наоборот, но на данном этапе мы используем это значение для дальнейших вычислений.

3) Перейдем ко второму уравнению: \( b_3 + b_5 = 8 \). Подставляя известное значение \( b_3 = 6 \), получаем \( 6 + b_5 = 8 \), откуда \( b_5 = 2 \). Теперь, зная \( b_5 = b_1 q^4 = 2 \) и \( b_3 = b_1 q^2 = 6 \), можно разделить одно уравнение на другое для нахождения \( q^2 \): \( \frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 q^4}{b_1 q^2} = q^2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), откуда \( q = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \). Учитывая условие \( b_3 > 0 \) и \( b_5 > 0 \), выбираем положительное значение \( q = \frac{1}{\sqrt{3}} \), если \( b_1 > 0 \), или отрицательное \( q = -\frac{1}{\sqrt{3}} \), если \( b_1 < 0 \). Далее, из \( b_3 = b_1 q^2 = 6 \) и \( q^2 = \frac{1}{3} \), получаем \( b_1 \cdot \frac{1}{3} = 6 \), откуда \( b_1 = 18 \). Проверяем с \( b_5 = b_1 q^4 = 18 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2 \), что совпадает. Однако в условии указано выражение \( b_1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b_1} = 6 \cdot (-3) = 18 \), что, вероятно, является ошибкой в записи, но результат \( b_1 = 18 \) верен. 4) Теперь вычислим суммы прогрессии. Первая сумма \( S_1 \) определена как \( S_1 = 1 + 3 + \frac{1}{18\sqrt{3}} \), но, судя по контексту, это может быть связано с конечной суммой членов прогрессии с учетом знаменателя. Используем формулу суммы геометрической прогрессии \( S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \). Однако в решении указана формула \( S_1 = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} = 9(3 - \sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3} \), что соответствует расчету с учетом знаменателя \( q = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Аналогично для \( S_2 \), где знаменатель больше 1 в модуле, но в решении указано \( S_2 = \frac{18\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 9(3 + \sqrt{3}) = 27 + 9\sqrt{3} \). Таким образом, ответы совпадают с примером: \( 27 - 9\sqrt{3} \); \( 27 + 9\sqrt{3} \).