ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((c_n)\), если \(c_3 c_5 = 20\) и \(c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}\).

1) Выполняются неравенства: \( c_2 + c_4 > 0 \); \( c_2 > 0 \), \( c_4 > 0 \);

2) Первое уравнение: \( c_3 c_5 = 20 \); \( c_2 = 20 \); \( c_4 = 2\sqrt{5} \);

3) Второе уравнение:
\( c_2 + c_4 = 12\sqrt{5} \); \( c_2 + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \); \( c_2 = 10\sqrt{5} \); \( 2\sqrt{5} q^2 = 10\sqrt{5} — 5 \); \( q^2 = \frac{10\sqrt{5} — 5}{2\sqrt{5}} = \frac{5(2\sqrt{5} — 1)}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5} — 1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{2} \cdot \left(2 — \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 5 — \frac{5}{2\sqrt{5}} = 5 — \frac{\sqrt{5}}{2} \); \( q = \pm \sqrt{5 — \frac{\sqrt{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{10 — \sqrt{5}}{2}} \);

4) Сумма прогрессии:
\( s_1 = \frac{-50}{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{-50 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{-50 \sqrt{5} (\sqrt{5} — 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} — 1)} = \frac{-50 \sqrt{5} (\sqrt{5} — 1)}{5 — 1} = \frac{-50 \sqrt{5} (\sqrt{5} — 1)}{4} =\)
\(= \frac{25 (\sqrt{5} — 5)}{2} \);
\( s_2 = \frac{50 \sqrt{5}}{1 — \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{50 \sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5} — 1}{\sqrt{5}}} = \frac{50 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} — 1} = \frac{50 \cdot 5}{\sqrt{5} — 1} = \frac{250}{\sqrt{5} — 1} = \frac{250 (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} — 1)(\sqrt{5} + 1)}=\)
\( = \frac{250 (\sqrt{5} + 1)}{5 — 1} = \frac{250 (\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{25 (\sqrt{5} + 5)}{2} \);

Ответ: \( \frac{25 (\sqrt{5} — 5)}{2} \); \( \frac{25 (\sqrt{5} + 5)}{2} \).

1) Выполняются неравенства: \( c_2 + c_4 > 0 \); \( c_2 > 0 \), \( c_4 > 0 \). Это означает, что второй и четвертый члены геометрической прогрессии положительны, а их сумма также больше нуля. Данные условия помогают определить возможные значения знаменателя прогрессии и проверить корректность решений.

2) Первое уравнение: \( c_3 c_5 = 20 \). Учитывая, что \( c_2 = 20 \) и \( c_4 = 2\sqrt{5} \), мы можем выразить третий и пятый члены через второй и четвертый с учетом знаменателя прогрессии \( q \). Так как \( c_3 = c_2 \cdot q \) и \( c_5 = c_4 \cdot q = c_2 \cdot q^3 \), подставляем значения и получаем уравнение \( c_2 \cdot q \cdot c_2 \cdot q^3 = c_2^2 \cdot q^4 = 20 \). Однако на данном этапе мы используем второе уравнение для нахождения \( q \).

3) Второе уравнение: \( c_2 + c_4 = 12\sqrt{5} \). Подставляем известное значение \( c_4 = 2\sqrt{5} \), получаем \( c_2 + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \), откуда \( c_2 = 12\sqrt{5} — 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \). Теперь, зная \( c_2 = 10\sqrt{5} \) и \( c_4 = c_2 \cdot q^2 = 10\sqrt{5} \cdot q^2 = 2\sqrt{5} \), решаем для \( q^2 \): \( 10\sqrt{5} \cdot q^2 = 2\sqrt{5} \), откуда \( q^2 = \frac{2\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \). Таким образом, \( q = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \). Проверяем оба значения с учетом условий \( c_2 > 0 \), \( c_4 > 0 \), которые выполняются для обоих \( q \), так как \( c_2 = 10\sqrt{5} > 0 \), \( c_4 = 2\sqrt{5} > 0 \).

4) Сумма прогрессии. Для геометрической прогрессии сумма первых \( n \) членов вычисляется по формуле \( s_n = c_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \), если \( q \neq 1 \). В данном случае рассматриваем бесконечную прогрессию (сумма до бесконечности), где \( |q| < 1 \), поэтому сумма равна \( s = \frac{c_1}{1 - q} \). У нас \( q = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \), и \( |q| = \frac{1}{\sqrt{5}} < 1 \), что удовлетворяет условию сходимости. Первый член \( c_1 \) неизвестен, но его можно выразить через \( c_2 = c_1 \cdot q \), откуда \( c_1 = \frac{c_2}{q} = \frac{10\sqrt{5}}{q} \). Рассчитаем сумму для каждого значения \( q \). Для \( q = \frac{1}{\sqrt{5}} \): \( c_1 = \frac{10\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 10\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 10 \cdot 5 = 50 \), сумма \( s_1 = \frac{50}{1 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{50}{\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}} = \frac{50 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{50 \cdot \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{50 \cdot 5 + 50 \cdot \sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{250 + 50\sqrt{5}}{4}=\) \( = \frac{25(5 + 2\sqrt{5})}{2} = \frac{25(\sqrt{5} + 5)}{2} \). Для \( q = -\frac{1}{\sqrt{5}} \): \( c_1 = \frac{10\sqrt{5}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = -10\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = -50 \), сумма \( s_2 = \frac{-50}{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)} = \frac{-50}{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{-50}{\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5}}} = \frac{-50 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{-50 \cdot \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{-50 \cdot 5 + 50 \cdot \sqrt{5}}{5 - 1} =\) \(= \frac{-250 + 50\sqrt{5}}{4} = \frac{25(-5 + 2\sqrt{5})}{2} = \frac{25(\sqrt{5} - 5)}{2} \). Ответ: для \( q = \frac{1}{\sqrt{5}} \) сумма \( s_1 = \frac{25(\sqrt{5} + 5)}{2} \), для \( q = -\frac{1}{\sqrt{5}} \) сумма \( s_2 = \frac{25(\sqrt{5} - 5)}{2} \).