ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(1 + x + x^2 + … = 4\), если \(|x| < 1\); 2) \(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - ... = 1,5\), если \(|x| > 1\).

1) Решить уравнение: \(1 + x + x^2 + \dots = 4\), если \(|x| < 1\); Имеем геометрическую прогрессию: \(b_1 = 1\), \(b_2 = x\); Сумма геометрической прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 - q}\); \(S(1 - q) = b_1\); \(4(1 - x) = 1\); \(4 - 4x = 1\); \(4x = 3\); \(x = \frac{3}{4}\). Ответ: \(\frac{3}{4}\). 2) Решить уравнение: \(1 - \frac{1}{x^2} = 1,5\), если \(|x| > 1\);
Имеем геометрическую прогрессию: \(b_1 = 1\), \(b_2 = -\frac{1}{x}\);
Сумма геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q}\); \(S(1 — q) = b_1\); \(1,5 \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1\); \(\frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x} = 1\); \(3x + 3 = 2x\); \(x = -3\).
Ответ: \(-3\).

1) Решаем уравнение \(1 + x + x^2 + \dots = 4\), при условии \(|x| < 1\). Заметим, что данное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, где первый член \(b_1 = 1\), а знаменатель прогрессии \(q = x\). Для сходимости прогрессии необходимо, чтобы \(|x| < 1\), что уже указано в условии. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Подставим известные значения: \(S = 4\), \(b_1 = 1\), \(q = x\). Получаем уравнение \(4 = \frac{1}{1 - x}\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(1 - x\): \(4(1 - x) = 1\). Раскроем скобки: \(4 - 4x = 1\). Перенесем все члены, содержащие \(x\), в одну сторону, а константы — в другую: \(4 - 1 = 4x\), то есть \(3 = 4x\). Разделим обе части на 4: \(x = \frac{3}{4}\). Проверим условие \(|x| < 1\): \(\left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} < 1\), что выполняется. Таким образом, решение уравнения: \(x = \frac{3}{4}\). Ответ: \(\frac{3}{4}\). 2) Решаем уравнение \(1 - \frac{1}{x^2} = 1,5\), при условии \(|x| > 1\). Перепишем \(1,5\) как \(\frac{3}{2}\), чтобы работать с дробями: \(1 — \frac{1}{x^2} = \frac{3}{2}\). Перенесем все члены в одну сторону: \(1 — \frac{1}{x^2} — \frac{3}{2} = 0\). Приведем к общему знаменателю \(2x^2\): \(\frac{2x^2}{2x^2} — \frac{2}{2x^2} — \frac{3x^2}{2x^2} = 0\), то есть \(\frac{2x^2 — 2 — 3x^2}{2x^2} = 0\), что упрощается до \(\frac{-x^2 — 2}{2x^2} = 0\).

Однако более простым способом будет интерпретация через геометрическую прогрессию. Заметим, что выражение можно представить как сумму прогрессии, где \(b_1 = 1\), а \(b_2 = -\frac{1}{x}\), так как каждый следующий член получается умножением на \(-\frac{1}{x}\). Сумма бесконечной прогрессии: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(q = -\frac{1}{x}\), а \(S = 1,5 = \frac{3}{2}\). Подставим: \(\frac{3}{2} = \frac{1}{1 — \left(-\frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}\).

Умножим обе части на \(1 + \frac{1}{x}\): \(\frac{3}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1\). Раскроем скобки: \(\frac{3}{2} + \frac{3}{2x} = 1\). Умножим обе части на \(2x\), чтобы избавиться от знаменателей: \(3x + 3 = 2x\). Перенесем члены: \(3x — 2x = -3\), то есть \(x = -3\).

Проверим условие \(|x| > 1\): \(|-3| = 3 > 1\), что выполняется. Таким образом, решение уравнения: \(x = -3\). Ответ: \(-3\).