ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов.

Найти знаменатель геометрической прогрессии, если:
\( b_1 + b_2 = 8(S — b_1 — b_2) \); \( b_1 + b_2, q = 8(2 — 1 — 6,9) \); \( b_1 + b_{19} = 1 — 9 — 8b_1 — 8b_{19} \); \( 1 — q \cdot b_1 \); \( b_1 \cdot 9b_1 + 9b_{19} = 1 — q \cdot 8 \cdot 9 + 99 = 1 — q’ \);
\( 9(1 + q)(1 — q) = 8 \); \( 9(1 — q^2) = 8 \); \( 9 — 9q^2 = 8 \); \( 9q^2 = 1 \); \( q^2 = \frac{1}{9} \); \( q = \pm \frac{1}{3} \).

Ответ: \( q = \pm \frac{1}{3} \).

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии рассмотрим заданные условия и решим задачу шаг за шагом. Дано, что \( b_1 + b_2 = 8(S — b_1 — b_2) \), а также ряд других выражений, которые нужно проанализировать. Мы будем опираться на свойства геометрической прогрессии, где каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на знаменатель \( q \), то есть \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), и так далее.

Начнем с первого условия \( b_1 + b_2 = 8(S — b_1 — b_2) \). Здесь \( S \) может обозначать сумму членов прогрессии, но поскольку точное значение не указано, предположим, что это опечатка или контекстное значение, и сосредоточимся на других уравнениях. Заменим \( b_2 = b_1 \cdot q \), чтобы выразить все через \( b_1 \) и \( q \).

Перейдем к следующему выражению: \( b_1 + b_{19} = 1 — 9 — 8b_1 — 8b_{19} \). Учитывая, что \( b_{19} = b_1 \cdot q^{18} \), подставим это в уравнение: \( b_1 + b_1 \cdot q^{18} = 1 — 9 — 8b_1 — 8b_1 \cdot q^{18} \). Упростим: \( b_1 + b_1 \cdot q^{18} + 8b_1 + 8b_1 \cdot q^{18} = 1 — 9 \), то есть \( b_1(1 + q^{18} + 8 + 8q^{18}) = -8 \), или \( b_1(9 + 9q^{18}) = -8 \). Это уравнение пока оставим для дальнейшего использования.

Теперь обратимся к ключевому уравнению из условия: \( 9(1 + q)(1 — q) = 8 \). Раскроем скобки: \( 9(1 — q^2) = 8 \). Разделим обе части на 9: \( 1 — q^2 = \frac{8}{9} \). Тогда \( q^2 = 1 — \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \). Извлечем квадратный корень: \( q = \pm \frac{1}{3} \).

Проверим полученные значения. Если \( q = \frac{1}{3} \) или \( q = -\frac{1}{3} \), то \( q^2 = \frac{1}{9} \), что удовлетворяет уравнению \( 9q^2 = 1 \). Таким образом, оба значения подходят как возможные знаменатели геометрической прогрессии.

Ответ: \( q = \pm \frac{1}{3} \).