ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрат со стороной \(a\) вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 29.3). Найдите сумму площадей всех построенных квадратов.

1) Диагональ этого квадрата:
\( d = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \)

2) Сторона следующего квадрата:
\( a_{n+1} = x\sqrt{2} \)

3) Площади квадратов составят:
\( S_n = x^2 \)
\( S_{n+1} = \left(\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^2 = x^2 \cdot 2 = 2x^2 \)

4) Имеем геометрическую прогрессию:
\( q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{x^2 \cdot 2}{x^2} = 2 \)
\( S_1 = a^2 \)

5) Сумма площадей всех квадратов:
\( S = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2 \)

Ответ: \( 2a^2 \)

1) Диагональ этого квадрата:
Рассмотрим квадрат со стороной \( a_n = x \). Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора, так как диагональ образует гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются стороны квадрата. Таким образом, диагональ \( d \) равна \( d = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \). Это значение диагонали будет использовано для определения стороны следующего квадрата.

2) Сторона следующего квадрата:
Если диагональ текущего квадрата равна \( x\sqrt{2} \), то эта диагональ становится стороной следующего квадрата. Следовательно, сторона следующего квадрата \( a_{n+1} = x\sqrt{2} \). Это показывает, что каждая последующая сторона увеличивается в \( \sqrt{2} \) раз по сравнению с предыдущей.

3) Площади квадратов составят:
Площадь текущего квадрата со стороной \( a_n = x \) равна \( S_n = x^2 \). Для следующего квадрата со стороной \( a_{n+1} = x\sqrt{2} \) площадь будет \( S_{n+1} = (x\sqrt{2})^2 = x^2 \cdot 2 = 2x^2 \). Это означает, что площадь каждого следующего квадрата в два раза больше площади предыдущего.

4) Имеем геометрическую прогрессию:
Поскольку площади квадратов увеличиваются в два раза с каждым шагом, мы можем определить общий член последовательности площадей. Отношение площадей \( q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{2x^2}{x^2} = 2 \). Это подтверждает, что последовательность площадей является геометрической прогрессией с первым членом \( S_1 = a^2 \) и знаменателем \( q = 2 \).

5) Сумма площадей всех квадратов:
Так как у нас есть бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом \( S_1 = a^2 \) и знаменателем \( q = 2 \), мы можем найти сумму всех площадей, используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{S_1}{1 — \frac{1}{q}} \). Подставляя значения, получаем \( S = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2 \). Таким образом, общая сумма площадей всех квадратов равна \( 2a^2 \).

Ответ: \( 2a^2 \)