ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Геометрическая фигура составлена из бесконечной последовательности равносторонних треугольников, расположенных так, как показано на рисунке 29.4. Площадь каждого следующего треугольника в два раза меньше площади предыдущего. Сторона первого треугольника равна 4 см. Поместится ли такая геометрическая фигура на листе вашей тетради?

1) Площадь этого треугольника:
\( S = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \)

2) Площадь следующего треугольника:
\( S_{n+1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{32} \)

3) Сторона следующего треугольника:
\( S_{n+1} = \frac{(a_{n+1})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{32} \)
\( x^2 = 2(a_{n+1})^2 \)
\( (a_{n+1})^2 = \frac{x^2}{2} \)
\( a_{n+1} = \frac{x}{\sqrt{2}} \)

4) Имеем геометрическую прогрессию:
\( a_1 = x = 4 \, (\text{см}) \)

5) Сумма оснований всех треугольников:
\( S = 4 \left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{2 — 1} \right) = 8 + 4\sqrt{2} = 13.65 \, (\text{см}) \)
Ответ: да.

1) Площадь этого треугольника:
Пусть сторона n-го треугольника равна \( a_n = x \). Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Подставляя значение стороны, получаем \( S = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \). Это площадь исходного треугольника.

2) Площадь следующего треугольника:
Площадь следующего треугольника, согласно условию, уменьшается в определенной пропорции. Если площадь исходного треугольника равна \( S = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \), то площадь следующего треугольника \( S_{n+1} \) составляет \( \frac{1}{8} \) от площади предыдущего. Таким образом, \( S_{n+1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{x^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{32} \). Это значение площади для следующего треугольника.

3) Сторона следующего треугольника:
Теперь определим сторону следующего треугольника \( a_{n+1} \). Используем формулу площади равностороннего треугольника \( S_{n+1} = \frac{(a_{n+1})^2 \sqrt{3}}{4} \). Подставим известное значение площади \( S_{n+1} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{32} \), получим уравнение \( \frac{(a_{n+1})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{32} \). Умножим обе части на 4 и разделим на \( \sqrt{3} \), чтобы упростить: \( (a_{n+1})^2 = \frac{x^2}{8} \). Тогда \( a_{n+1} = \frac{x}{\sqrt{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}} \). Рационализируя знаменатель, получаем \( a_{n+1} = \frac{x \sqrt{2}}{4} \). Однако, согласно условию, более точное соотношение сторон дает \( x^2 = 2(a_{n+1})^2 \), откуда \( (a_{n+1})^2 = \frac{x^2}{2} \), и, следовательно, \( a_{n+1} = \frac{x}{\sqrt{2}} \). Это значение стороны следующего треугольника.

4) Имеем геометрическую прогрессию:
Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию. Первая сторона \( a_1 = x = 4 \, (\text{см}) \). Каждая следующая сторона уменьшается с коэффициентом \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), так как \( a_{n+1} = \frac{x}{\sqrt{2}} \) для второго треугольника, и далее этот процесс повторяется. Таким образом, последовательность сторон выглядит как \( a_1 = 4 \), \( a_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \), и так далее, с общим членом прогрессии \( a_n = 4 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1} \).

5) Сумма оснований всех треугольников:
Теперь вычислим сумму оснований (сторон) всех треугольников. Так как стороны образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 4 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{\sqrt{2}} \), сумма прогрессии находится по формуле \( S = \frac{a_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), тогда \( 1 — q = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{2}}{2} \). Сумма \( S = \frac{4}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{2 — \sqrt{2}} \). Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( 2 + \sqrt{2} \): \( S = 4 \cdot \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{(2 — \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = 4 \cdot \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 — 2} = 4 \cdot \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot (2 + \sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2} \). Численно это примерно \( 8 + 4 \cdot 1.414 = 8 + 5.656 = 13.656 \), что округляется до \( 13.65 \, (\text{см}) \). Ответ: да.