ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) \(\frac{3}{\sqrt{2}}, 1, \frac{\sqrt{2}}{3}, …\);
2) \(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, \frac{1}{2-\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, …\).

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(\sqrt{\frac{3}{2}}; 1; \sqrt{\frac{2}{3}}; \ldots\);

\(b_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}, \quad b_2 = 1;\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \sqrt{\frac{2}{3}};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1 — \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2})};\)

\(S = \frac{3}{\sqrt{6} — 2} = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{6 — 4} = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{2};\)

Ответ: \(\frac{3(\sqrt{6} + 2)}{2}\).

2) \(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}; \frac{1}{2 — \sqrt{2}}; \frac{1}{2}; \ldots\);

\(b_1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}, \quad b_2 = \frac{1}{2 — \sqrt{2}};\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{2 — \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}} = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{\frac{\sqrt{2} — (\sqrt{2} — 1)}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \sqrt{2};\)

\(S = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = 2\sqrt{2} + 2 + 2 + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4;\)

Ответ: \(3\sqrt{2} + 4\).

Рассмотрим первый пример. Дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}\) и вторым членом \(b_2 = 1\). Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо сначала определить знаменатель прогрессии \(q\), который равен отношению второго члена к первому: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\). Поскольку \(|q| < 1\), сумма бесконечной прогрессии существует и вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

Подставляя значения \(b_1\) и \(q\), получаем \(S = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1 — \sqrt{\frac{2}{3}}}\). Чтобы упростить выражение, нужно избавиться от иррациональных чисел в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, учитывая, что \(1 — \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Тогда сумма принимает вид \(S = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{3} — \sqrt{2})}\).

Далее умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя \(\sqrt{6} + 2\), чтобы рационализировать знаменатель: \(S = \frac{3}{\sqrt{6} — 2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} + 2} = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{6 — 4} = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{2}\). Таким образом, окончательный ответ для суммы бесконечной геометрической прогрессии равен \(S = \frac{3(\sqrt{6} + 2)}{2}\).

Во втором примере даны члены прогрессии: \(b_1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}\), \(b_2 = \frac{1}{2 — \sqrt{2}}\), \(b_3 = \frac{1}{2}\) и так далее. Аналогично находим знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{2 — \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}} = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}\). Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: \(q = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{(\sqrt{2} — 1)^2}{2 — 1} = \frac{3 — 2\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}\).

Так как \(|q| < 1\), сумма прогрессии существует и равна \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{\frac{\sqrt{2} — (\sqrt{2} — 1)}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \sqrt{2}\).

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: \(S = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 — 1} = \sqrt{2} \cdot (2 + 2\sqrt{2} + 1) =\)
\(= \sqrt{2} \cdot (3 + 2\sqrt{2})\).

Раскроем скобки: \(S = 3\sqrt{2} + 2 \cdot 2 = 3\sqrt{2} + 4\). Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(3\sqrt{2} + 4\).