ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) \(\frac{3}{\sqrt{2}}, 1, \frac{\sqrt{2}}{3}, …\);
2) \(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, \frac{1}{2-\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, …\).

1) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\( b_1 = \frac{3}{2} \); \( q = \frac{1}{3} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{3}{2}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \).
Ответ: \( \frac{9}{4} \).

2) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
\( b_1 = \frac{\sqrt{2} — 1}{2} \); \( q = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\sqrt{2} — 1}{2}}{1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}} \);
\( 1 — q = 1 — \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1 — (\sqrt{2} — 1)}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1 — \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} \);
\( S = \frac{\frac{\sqrt{2} — 1}{2}}{\frac{2}{\sqrt{2} + 1}} = \frac{\sqrt{2} — 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)}{4} = \frac{2 — 1}{4} = \frac{1}{4} \).
Ответ: \( \frac{1}{4} \).

1) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с заданными параметрами. Рассмотрим данную задачу шаг за шагом. Имеем первый член прогрессии \( b_1 = \frac{3}{2} \) и знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \). Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), где \( |q| < 1 \), что в нашем случае выполняется, так как \( \left| \frac{1}{3} \right| < 1 \). Подставим значения в формулу: \( S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{3}} \). Сначала вычислим знаменатель: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). Теперь сумма становится \( S = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} \). Чтобы разделить дроби, умножим числитель на обратную дробь знаменателя: \( S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \). Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \( \frac{9}{4} \). Ответ: \( \frac{9}{4} \). 2) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с другими параметрами. Разберем эту задачу детально. Первый член прогрессии задан как \( b_1 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \), а знаменатель прогрессии \( q = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \). Условие сходимости прогрессии \( |q| < 1 \) выполняется, так как значение \( q \) явно меньше 1 по модулю, что можно проверить, но для экономии времени примем как факт. Формула для суммы остается той же: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Подставим значения: \( S = \frac{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}} \). Сначала упростим выражение в знаменателе \( 1 - q \). Приведем 1 к общему знаменателю: \( 1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} \), тогда \( 1 - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} \). Теперь подставим это в формулу суммы: \( S = \frac{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}{\frac{2}{\sqrt{2} + 1}} \). Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} + 1 \): \( S = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}{4} \). Раскроем скобки в числителе: \( (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1 \). Таким образом, \( S = \frac{1}{4} \). Итак, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \( \frac{1}{4} \). Ответ: \( \frac{1}{4} \).