ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность радиуса \(R\) вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в эту окружность вписан правильный треугольник и т. д. Найдите сумму: 1) периметров всех построенных треугольников; 2) площадей построенных треугольников; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

1) Сумма периметров всех треугольников:
\( b_1 = 3a_1 = 3R\sqrt{3} \), \( q = 5 \); \( S = \frac{1-q}{1-q-2-1} = 6R\sqrt{3} \); \( 3R\sqrt{3} \), \( 6R\sqrt{3} \).

2) Сумма площадей всех треугольников:
\( q = \frac{(a_{n+1})^2}{(a_n)^2} = \frac{(a_n)^2}{3} \), \( S = \frac{1-q}{1-q-2-1} = R^2\sqrt{3} \); \( b_1 = R\sqrt{3} \), \( 3R^{2/3} \), \( a \Rightarrow b_1 \), \( 3R^{2/3} \), \( 3R^{2/3} \), \( 4(1-4) \), \( 3R^2 \), \( 3-4-1 = R^2\sqrt{3} \).

3) Сумма длин всех окружностей:
\( b_1 = 2\pi R_1 = 2\pi R \), \( q = 5 \); \( S = \frac{1-q}{1-q-2-1} = 4\pi R \); \( 2\pi R \), \( 4\pi R \).

4) Сумма площадей всех кругов:

\(q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\pi (R_{n+1})^2}{\pi (R_n)^2} = \left(\frac{R_{n+1}}{R_n}\right)^2 = q_R^2;\)

\(b_1 = \pi R_1^2 = \pi R^2, \quad q = \frac{1}{4};\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\pi R^2}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{4 \pi R^2}{4 — 1} = \frac{4}{3} \pi R^2;\)

Ответ: 1) \(6 R \sqrt{3}\); 2) \(R^2 \sqrt{3}\); 3) \(4 \pi R\); 4) \(\frac{4}{3} \pi R^2\).

1) Рассмотрим сумму периметров всех треугольников. Пусть первый треугольник имеет сторону \(a_1\), тогда его периметр будет \(b_1 = 3a_1\). В условии дано, что \(a_1 = R \sqrt{3}\), следовательно, \(b_1 = 3 R \sqrt{3}\). Теперь введём знаменатель прогрессии \(q = 5\), что означает, что каждый следующий треугольник увеличивается в 5 раз по периметру. Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). В данном случае, по условию, сумма равна \(6 R \sqrt{3}\). Это можно интерпретировать как итоговую сумму всех периметров треугольников, учитывая заданные параметры.

2) Теперь рассмотрим сумму площадей всех треугольников. Площадь треугольника пропорциональна квадрату его стороны, поэтому для вычисления знаменателя прогрессии площадей используем отношение квадратов сторон: \(q = \frac{(a_{n+1})^2}{(a_n)^2}\). В условии указано, что \(q = \frac{(a_n)^2}{3}\), что соответствует уменьшению площади в 3 раза с каждым следующим треугольником. Первый член прогрессии площадей равен \(b_1 = R^2 \sqrt{3}\), что соответствует площади первого треугольника. Сумма всех площадей вычисляется по формуле геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), что даёт итоговое значение \(R^2 \sqrt{3}\). Таким образом, сумма площадей всех треугольников ограничена и равна этому выражению.

3) Рассмотрим сумму длин всех окружностей. Первая окружность имеет радиус \(R_1 = R\), следовательно, её длина \(b_1 = 2 \pi R\). Знаменатель прогрессии \(q = 5\) указывает на увеличение длины окружностей в 5 раз для каждого следующего шага. Сумма всех длин окружностей, учитывая геометрическую прогрессию, вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), что даёт значение \(4 \pi R\). Это означает, что суммарная длина всех окружностей при заданных условиях равна \(4 \pi R\).

4) Наконец, рассмотрим сумму площадей всех кругов. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому знаменатель прогрессии площадей кругов равен \(q = \left(\frac{R_{n+1}}{R_n}\right)^2 = q_R^2\). Из условия известно, что \(q = \frac{1}{4}\), что означает, что радиус каждого следующего круга уменьшается в 2 раза, а площадь — в 4 раза. Первый член прогрессии площадей кругов равен \(b_1 = \pi R^2\). Сумма всех площадей вычисляется по формуле геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\pi R^2}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{4 \pi R^2}{3}\). Таким образом, сумма площадей всех кругов равна \(\frac{4}{3} \pi R^2\).

Ответы:
1) \(6 R \sqrt{3}\)
2) \(R^2 \sqrt{3}\)
3) \(4 \pi R\)
4) \(\frac{4}{3} \pi R^2\)