ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрат со стороной \(a\) вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму: 1) периметров всех построенных квадратов; 2) площадей построенных квадратов; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Пусть сторона n-го квадрата равна: \( a_n = x \);
Радиусы вписанной и описанной окружностей: \( r = R = \frac{x}{2} \);
Сторона следующего квадрата: \( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}} \);
\( a_{n+1} = \frac{x}{\sqrt{2}} \); \( a_{n+1} = \frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{n}} \).
Стороны квадратов: \( a_1 = a \);
Радиусы окружностей: \( R_{n+1} = \frac{R_n}{\sqrt{2}} \); \( R_1 = \frac{a}{2} \).

1) Сумма периметров всех квадратов:
\( b_{n+1} = 4a_{n+1} \); \( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}} \);
\( b_1 = 4a_1 = 4a \), \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{4a}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4a}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = \frac{8a}{2 — \sqrt{2}} = 4a(2 + \sqrt{2}) \);
Ответ: \( 4a(2 + \sqrt{2}) \).

2) Сумма площадей всех квадратов:
\( b_{n+1} = a_{n+1}^2 \); \( b_1 = a_1^2 = a^2 \), \( q = \frac{1}{2} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2 \);
Ответ: \( 2a^2 \).

3) Сумма длин всех окружностей:
\( b_{n+1} = 2\pi R_{n+1} \); \( b_1 = 2\pi R_1 = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a \), \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\pi a}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi a}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = \frac{2\pi a}{2 — \sqrt{2}} = \pi a(2 + \sqrt{2}) \);
Ответ: \( \pi a(2 + \sqrt{2}) \).

4) Сумма площадей всех кругов:
\( b_{n+1} = \pi (R_{n+1})^2 \); \( b_1 = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \), \( q = \frac{1}{2} \);
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi a^2}{2} \);
Ответ: \( \frac{\pi a^2}{2} \).

Пусть дана последовательность квадратов, где сторона \( n \)-го квадрата равна \( a_n = x \), радиусы вписанной и описанной окружностей равны \( r = R = \frac{x}{2} \), а сторона следующего квадрата определяется как \( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}} \). Начальные значения: \( a_1 = a \), \( R_1 = \frac{a}{2} \). Рассмотрим задачи на нахождение сумм периметров, площадей квадратов и окружностей.

1) Сумма периметров всех квадратов. Периметр \( n \)-го квадрата равен \( b_{n} = 4a_{n} \). Для первого квадрата \( b_1 = 4a_1 = 4a \). Так как \( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}} \), то \( b_{n+1} = 4a_{n+1} = 4 \cdot \frac{a_n}{\sqrt{2}} = \frac{4a_n}{\sqrt{2}} = b_n \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \), откуда коэффициент прогрессии \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{4a}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4a}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = \frac{8a}{2 — \sqrt{2}} \). Рационализируем знаменатель: \( \frac{8a}{2 — \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{8a(2 + \sqrt{2})}{4 — 2} = \frac{8a(2 + \sqrt{2})}{2} = 4a(2 + \sqrt{2}) \). Ответ: \( 4a(2 + \sqrt{2}) \).

2) Сумма площадей всех квадратов. Площадь \( n \)-го квадрата равна \( b_{n} = a_{n}^2 \). Для первого квадрата \( b_1 = a_1^2 = a^2 \). Так как \( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}} \), то \( b_{n+1} = a_{n+1}^2 = \left(\frac{a_n}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a_n^2}{2} = b_n \cdot \frac{1}{2} \), откуда коэффициент прогрессии \( q = \frac{1}{2} \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{a^2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{a^2}{\frac{1}{2}} = 2a^2 \). Ответ: \( 2a^2 \).

3) Сумма длин всех окружностей. Длина окружности \( n \)-го круга равна \( b_{n} = 2\pi R_{n} \). Для первого круга \( b_1 = 2\pi R_1 = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a \). Так как \( R_{n+1} = \frac{R_n}{\sqrt{2}} \), то \( b_{n+1} = 2\pi R_{n+1} = 2\pi \cdot \frac{R_n}{\sqrt{2}} = b_n \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \), откуда коэффициент прогрессии \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\pi a}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi a}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} = \frac{2\pi a}{2 — \sqrt{2}} \). Рационализируем знаменатель: \( \frac{2\pi a}{2 — \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2\pi a (2 + \sqrt{2})}{4 — 2} = \frac{2\pi a (2 + \sqrt{2})}{2} = \pi a (2 + \sqrt{2}) \). Ответ: \( \pi a (2 + \sqrt{2}) \).

4) Сумма площадей всех кругов. Площадь \( n \)-го круга равна \( b_{n} = \pi R_{n}^2 \). Для первого круга \( b_1 = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \). Так как \( R_{n+1} = \frac{R_n}{\sqrt{2}} \), то \( b_{n+1} = \pi R_{n+1}^2 = \pi \left(\frac{R_n}{\sqrt{2}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{R_n^2}{2} = b_n \cdot \frac{1}{2} \), откуда коэффициент прогрессии \( q = \frac{1}{2} \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi a^2}{2} \). Ответ: \( \frac{\pi a^2}{2} \).