ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + …\), где \(x > 0\).

1) Имеем геометрическую прогрессию:
\( b_1 = x^2 \), \( b_2 = 1 + x^2 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1 + x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2} + 1 \); \( |q| < 1 \);

2) Сумма данной прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{x^2}{1 — \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right)} = \frac{x^2}{1 — \frac{1}{x^2} — 1} = \frac{x^2}{-\frac{1}{x^2}} = x^2 \cdot \left( -x^2 \right) = -x^4 \);
\( y = x^2 + S = x^2 + (-x^4) = x^2 — x^4 \);

3) График функции:

1) Имеем геометрическую прогрессию:
Рассмотрим заданную последовательность как геометрическую прогрессию, где первый член \( b_1 = x^2 \), а второй член \( b_2 = 1 + x^2 \). Найдем знаменатель прогрессии \( q \) как отношение второго члена к первому: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1 + x^2}{x^2} \). Раскроем это выражение: \( q = \frac{1}{x^2} + 1 \). Условие сходимости суммы геометрической прогрессии требует, чтобы \( |q| < 1 \). В данном случае мы предполагаем, что это условие выполняется для определенных значений \( x \), и далее проверим область определения.

2) Сумма данной прогрессии:
Для бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \), где \( |q| < 1 \), сумма вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( S = \frac{x^2}{1 — \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right)} \). Упростим выражение в знаменателе: \( 1 — \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) = 1 — 1 — \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x^2} \). Тогда сумма становится: \( S = \frac{x^2}{-\frac{1}{x^2}} = x^2 \cdot (-x^2) = -x^4 \). Теперь найдем значение функции \( y \), которая складывается из \( x^2 \) и суммы прогрессии: \( y = x^2 + S = x^2 + (-x^4) = x^2 — x^4 \). Таким образом, упрощенное выражение для \( y \) равно \( y = x^2 — x^4 \).

3) График функции:

Полученная функция \( y = x^2 — x^4 \) представляет собой полином четвертой степени с отрицательным старшим коэффициентом, что указывает на то, что график направлен вниз при больших значениях \( x \). Для построения графика можно найти ключевые точки, такие как пересечения с осями: при \( x = 0 \), \( y = 0 \); также решить уравнение \( y = 0 \), чтобы найти корни \( x^2 — x^4 = 0 \), или \( x^2 (1 — x^2) = 0 \), откуда \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \). Кроме того, можно определить экстремумы, взяв производную \( y’ = 2x — 4x^3 = 2x(1 — 2x^2) \), и решив \( y’ = 0 \), откуда \( x = 0 \), \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Эти точки помогут построить график функции с учетом ее симметрии относительно оси \( y \), так как функция четная.