ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x + 1}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1 + \sqrt{x})^2} + …\), где \(x > 0\).

1) Имеем геометрическую прогрессию:
\( b_1 = \sqrt{x} \), \( b_2 = 1 + \sqrt{x} \),
\( \frac{b_2}{b_1} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \),
\( |q| < 1 \);

2) Сумма данной прогрессии:
\( \frac{(1 + \sqrt{x}) — 1}{1 — (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})} = \frac{\sqrt{x}}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}} — 1 — \frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{0} \),
\( y = \sqrt{x} + 1 \);

3) График функции:

1) Имеем геометрическую прогрессию. Рассмотрим заданные элементы прогрессии: первый член прогрессии задан как \( b_1 = \sqrt{x} \), а второй член прогрессии равен \( b_2 = 1 + \sqrt{x} \). Для геометрической прогрессии характерно, что каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии \( q \). Найдем этот знаменатель, разделив второй член на первый: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \). Раскроем это выражение: \( \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \). Таким образом, знаменатель прогрессии равен \( q = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \). Также в условии указано, что \( |q| < 1 \), однако при \( x > 0 \) значение \( q = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \) всегда больше 1, что требует дополнительного анализа или уточнения условия.

2) Сумма данной прогрессии. Для геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \), знаменателем \( q \) и бесконечным числом членов сумма вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), если \( |q| < 1 \). Подставим значения: \( b_1 = \sqrt{x} \), \( q = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \). Тогда \( 1 — q = 1 — \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}} \). Теперь вычислим сумму: \( S = \frac{\sqrt{x}}{1 — q} = \frac{\sqrt{x}}{-\frac{1}{\sqrt{x}}} = \sqrt{x} \cdot \left(-\sqrt{x}\right) = -x \). Однако в исходном тексте указано \( y = \sqrt{x} + 1 \), что не совпадает с вычислением суммы бесконечной прогрессии при данном \( q \). Возможно, речь идет о конечной сумме или ином контексте. Если рассматривать выражение из условия, то \( y = \sqrt{x} + 1 \), и это может быть результатом другого подхода к задаче.

3) График функции. Для построения графика функции \( y = \sqrt{x} + 1 \) отметим, что область определения функции \( x > 0 \), так как корень из отрицательного числа не определен в действительных числах. Функция \( y = \sqrt{x} + 1 \) является возрастающей, так как \( \sqrt{x} \) возрастает при увеличении \( x \). При \( x = 0 \) значение функции \( y = 1 \), а при увеличении \( x \) значение \( y \) стремится к бесконечности. График начинается в точке \( (0, 1) \) и идет вверх вправо, отображая медленный рост из-за квадратного корня. Для построения графика можно взять несколько значений \( x \), например, \( x = 1 \), \( y = 1 + 1 = 2 \); \( x = 4 \), \( y = 2 + 1 = 3 \); \( x = 9 \), \( y = 3 + 1 = 4 \), и соединить точки плавной кривой.