ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) система уравнений

\(\begin{cases}

x^2 + (y — 2)^2 = 1, \\

y = |x| + a

\end{cases}\)

имеет три решения?

При каких значениях \( a \) система уравнений имеет три решения: \( x^2 + (y-2)^2 = 1 \), \( y = |x| + a \).

Графики данных функций при \( a = 0 \):

Для решения задачи о том, при каких значениях параметра \( a \) система уравнений \( x^2 + (y-2)^2 = 1 \) и \( y = |x| + a \) имеет три решения, рассмотрим пошаговый анализ.

Сначала разберем геометрический смысл уравнений. Первое уравнение \( x^2 + (y-2)^2 = 1 \) описывает окружность с центром в точке \( (0, 2) \) и радиусом \( 1 \). Второе уравнение \( y = |x| + a \) представляет собой V-образный график с вершиной в точке \( (0, a) \), который состоит из двух лучей: \( y = x + a \) для \( x \geq 0 \) и \( y = -x + a \) для \( x < 0 \).

Число решений системы соответствует числу точек пересечения окружности и графика функции \( y = |x| + a \). Нам нужно найти такие значения \( a \), при которых окружность пересекает график в трех точках.

Подставим \( y = |x| + a \) в первое уравнение: \( x^2 + ((|x| + a) — 2)^2 = 1 \). Упростим выражение внутри квадрата: \( (|x| + a — 2)^2 = |x|^2 + 2|x|(a-2) + (a-2)^2 \). Поскольку \( |x|^2 = x^2 \), получим: \( x^2 + x^2 + 2|x|(a-2) + (a-2)^2 = 1 \), или \( 2x^2 + 2|x|(a-2) + (a-2)^2 — 1 = 0 \).

Так как \( |x| \) зависит от знака \( x \), рассмотрим два случая: \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \). Для \( x \geq 0 \) имеем \( |x| = x \), и уравнение принимает вид: \( 2x^2 + 2x(a-2) + (a-2)^2 — 1 = 0 \). Для \( x < 0 \) имеем \( |x| = -x \), и уравнение становится: \( 2x^2 — 2x(a-2) + (a-2)^2 — 1 = 0 \).

Оба уравнения являются квадратными относительно \( x \). Для \( x \geq 0 \) дискриминант равен \( d_1 = (2(a-2))^2 — 4 \cdot 2 \cdot ((a-2)^2 — 1) = 4(a-2)^2 — 8(a-2)^2 + 8 =\)
\(= -4(a-2)^2 + 8 \). Для \( x < 0 \) дискриминант такой же, \( d_2 = -4(a-2)^2 + 8 \), поскольку выражения совпадают после подстановки.

Число решений определяется значением дискриминанта. Если \( d > 0 \), то у каждого уравнения по два корня, но нужно учитывать область определения: для \( x \geq 0 \) учитываем только неотрицательные корни, для \( x < 0 \) — только отрицательные. Если \( d = 0 \), то по одному корню в каждой области, а если \( d < 0 \), то корней нет.

Решим неравенство \( -4(a-2)^2 + 8 > 0 \): \( 8 > 4(a-2)^2 \), \( 2 > (a-2)^2 \), \( |a-2| < \sqrt{2} \), то есть \( 2 — \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2} \). В этом интервале у нас потенциально до четырех решений, но нужно проверить, сколько из них реальны с учетом знака \( x \).

При \( a = 2 — \sqrt{2} \) и \( a = 2 + \sqrt{2} \) дискриминант равен нулю, и в каждой области по одному корню. Однако при этих значениях график касается окружности в двух точках (по одной в каждой области), но может быть дополнительное пересечение. Проверим конкретные значения.

Рассмотрим случай, когда вершина графика \( y = |x| + a \) находится внутри окружности или на границе. Вершина в точке \( (0, a) \), а центр окружности в \( (0, 2) \), радиус \( 1 \). Расстояние от центра до вершины \( |2 — a| \). Если \( |2 — a| < 1 \), то есть \( 1 < a < 3 \), вершина внутри окружности, что может дать больше пересечений.

После анализа графиков и численных расчетов видно, что при \( a = 1 \) график пересекает окружность в трех точках: одна в вершине и две на лучах. Подставим \( a = 1 \): \( y = |x| + 1 \), уравнение \( x^2 + (|x| + 1 — 2)^2 = 1 \), или \( x^2 + (|x| — 1)^2 = 1 \). Для \( x \geq 0 \): \( x^2 + (x — 1)^2 = 1 \), \( 2x^2 — 2x + 1 = 1 \), \( 2x^2 — 2x = 0 \), \( x(x — 1) = 0 \), \( x = 0 \) или \( x = 1 \). Для \( x < 0 \): \( x^2 + (-x — 1)^2 = 1 \), \( 2x^2 + 2x + 1 = 1 \), \( 2x^2 + 2x = 0 \), \( x(x + 1) = 0 \), \( x = 0 \) или \( x = -1 \). Но \( x = 0 \) учитываем только раз, итого три точки: \( (-1, 2) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \).

При других значениях \( a \) число решений может быть меньше или больше, но три решения достигаются в окрестности \( a = 1 \). Точный анализ показывает, что три решения есть при \( a = 1 \), так как при этом значении вершина лежит на окружности, обеспечивая уникальное пересечение.

Итак, система имеет три решения при \( a = 1 \).