ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(6x^2 + \sqrt{3}x^2 + 2x + 4 = 13 — 4x\).

Решить уравнение:
\(6x^2 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13 — 4x\); \(6x^2 + 4x + 8 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 21\); \(2(3x^2 + 2x + 4) + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} — 21 = 0\);
1) Пусть \(y = \sqrt{3x^2 + 2x + 4}\), тогда: \(2y^2 + y — 21 = 0\); \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 21 = 1 + 168 = 169\), тогда: \(y_1 = \frac{-1 — 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5 < 0\) и \(y_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\); 2) Вернем замену: \(\sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 3\); \(3x^2 + 2x + 4 = 9\); \(3x^2 + 2x - 5 = 0\); \(D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64\), тогда: \(x_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\) и \(x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\); Ответ: \(-\frac{5}{3}; 1\).

1) Рассмотрим данное уравнение: \(6x^2 + \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 13 — 4x\). Для упрощения решения введем замену. Пусть \(y = \sqrt{3x^2 + 2x + 4}\). Тогда исходное уравнение можно переписать, учитывая, что \(y^2 = 3x^2 + 2x + 4\), а также преобразуем правую часть уравнения: \(6x^2 = 2 \cdot (3x^2) = 2 \cdot (y^2 — 2x — 4)\). Однако проще выразить уравнение через \(y\). Подставим \(6x^2 = 13 — 4x — y\), но удобнее заметить, что после преобразований и учета всех частей уравнения (как указано в альтернативных формах: \(6x^2 + 4x + 8 + y = 21\)), получаем \(2y^2 + y — 21 = 0\), так как \(6x^2 + 4x + 8 = 2 \cdot (3x^2 + 2x + 4) = 2y^2\).

Теперь решим квадратное уравнение относительно \(y\): \(2y^2 + y — 21 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -21\): \(y_1 = \frac{-1 — \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 13}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5\), и \(y_2 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3\). Поскольку \(y = \sqrt{3x^2 + 2x + 4}\), а корень не может быть отрицательным, отбрасываем \(y_1 = -3.5\) и оставляем \(y_2 = 3\).

2) Вернемся к замене: \(y = \sqrt{3x^2 + 2x + 4} = 3\). Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(3x^2 + 2x + 4 = 9\). Перенесем все члены в одну сторону: \(3x^2 + 2x + 4 — 9 = 0\), то есть \(3x^2 + 2x — 5 = 0\). Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем их: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -5\). Тогда \(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 — 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\), и \(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1\).

Ответ: \(-\frac{5}{3}; 1\).