ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1) \(0,1111…\); 2) \(0,(5)\); 3) \(0,416416416…\); 4) \(0,2666…\); 5) \(1,181818…\); 6) \(2,3(36)\).

1) \( 0,1111 \ldots = 0,1 + 0,01 + 0,001 + \ldots = \frac{1}{9} \); \( b_1 = 0,1 \), \( b_2 = 0,01 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,01}{0,1} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,1}{1 — 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9} \).
Ответ: \( \frac{1}{9} \)

2) \( 0,\overline{5} = 0,5 + 0,05 + 0,005 + \ldots \); \( b_1 = 0,5 \), \( b_2 = 0,05 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,05}{0,5} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,5}{1 — 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9} \).
Ответ: \( \frac{5}{9} \)

3) \( 0,416416416 \ldots = 0,416 + 0,000416 + \ldots = \frac{416}{999} \); \( b_1 = 0,416 \), \( b_2 = 0,000416 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,000416}{0,416} = 0,001 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,416}{1 — 0,001} = \frac{0,416}{0,999} = \frac{416}{999} \).
Ответ: \( \frac{416}{999} \)

4) \( 0,2666 \ldots = 0,2 + 0,06 + 0,006 + \ldots = \frac{2}{3} + \frac{1}{15} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15} \); \( b_1 = 0,06 \), \( b_2 = 0,006 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,006}{0,06} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,06}{1 — 0,1} = \frac{0,06}{0,9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \).
Ответ: \( \frac{4}{15} \)

5) \( 1,181818 \ldots = 1 + 0,18 + 0,0018 + \ldots = 1 + \frac{18}{99} = \frac{13}{11} \); \( b_1 = 0,18 \), \( b_2 = 0,0018 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0018}{0,18} = 0,01 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,18}{1 — 0,01} = \frac{0,18}{0,99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11} \).
Ответ: \( \frac{13}{11} \)

6) \( 2,3\overline{36} = 2,3 + 0,036 + 0,00036 + \ldots = \frac{253}{110} + \frac{4}{110} = \frac{257}{110} \); \( b_1 = 0,036 \), \( b_2 = 0,00036 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,00036}{0,036} = 0,01 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,036}{1 — 0,01} = \frac{0,036}{0,99} = \frac{36}{990} = \frac{4}{110} \).
Ответ: \( \frac{257}{110} \)

1) Рассмотрим бесконечную периодическую дробь \( 0,1111 \ldots \), которую можно представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии: \( 0,1 + 0,01 + 0,001 + \ldots \). Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,1 \), а второй член \( b_2 = 0,01 \). Найдем знаменатель прогрессии \( q \) как отношение второго члена к первому: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,01}{0,1} = 0,1 \).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( S = \frac{0,1}{1 — 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9} \). Таким образом, \( 0,1111 \ldots = \frac{1}{9} \).

Ответ: \( \frac{1}{9} \)

2) Рассмотрим периодическую дробь \( 0,\overline{5} \), которая раскладывается в сумму: \( 0,5 + 0,05 + 0,005 + \ldots \). Первый член прогрессии \( b_1 = 0,5 \), второй член \( b_2 = 0,05 \). Определим знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,05}{0,5} = 0,1 \).

Применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( S = \frac{0,5}{1 — 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9} \). Таким образом, \( 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \).

Ответ: \( \frac{5}{9} \)

3) Рассмотрим дробь \( 0,416416416 \ldots \), которая представляется как сумма: \( 0,416 + 0,000416 + \ldots \). Первый член прогрессии \( b_1 = 0,416 \), второй член \( b_2 = 0,000416 \). Найдем знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,000416}{0,416} = 0,001 \).

Сумма прогрессии вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( S = \frac{0,416}{1 — 0,001} = \frac{0,416}{0,999} = \frac{416}{999} \). Таким образом, \( 0,416416416 \ldots = \frac{416}{999} \).

Ответ: \( \frac{416}{999} \)

4) Рассмотрим дробь \( 0,2666 \ldots \), которую можно записать как \( 0,2 + 0,06 + 0,006 + \ldots \). Здесь \( 0,2 \) — это отдельная часть, а ряд начинается с \( 0,06 \). Первый член прогрессии \( b_1 = 0,06 \), второй член \( b_2 = 0,006 \). Найдем знаменатель: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,006}{0,06} = 0,1 \).

Сумма ряда равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,06}{1 — 0,1} = \frac{0,06}{0,9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \). Теперь прибавим \( 0,2 \), что равно \( \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \), и получим общую сумму: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15} \).

Ответ: \( \frac{4}{15} \)

5) Рассмотрим дробь \( 1,181818 \ldots \), которую можно представить как \( 1 + 0,18 + 0,0018 + \ldots \). Первый член прогрессии \( b_1 = 0,18 \), второй член \( b_2 = 0,0018 \). Найдем знаменатель: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0018}{0,18} = 0,01 \).

Сумма ряда равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,18}{1 — 0,01} = \frac{0,18}{0,99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11} \). Прибавим целую часть 1: \( 1 + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} + \frac{2}{11} = \frac{13}{11} \). Таким образом, \( 1,181818 \ldots = \frac{13}{11} \).

Ответ: \( \frac{13}{11} \)

6) Рассмотрим дробь \( 2,3\overline{36} \), которая раскладывается как \( 2,3 + 0,036 + 0,00036 + \ldots \). Первый член прогрессии \( b_1 = 0,036 \), второй член \( b_2 = 0,00036 \). Найдем знаменатель: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,00036}{0,036} = 0,01 \).

Сумма ряда равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,036}{1 — 0,01} = \frac{0,036}{0,99} = \frac{36}{990} = \frac{4}{110} \). Теперь учтем часть до периода, то есть \( 2,3 = \frac{23}{10} = \frac{253}{110} \). Общая сумма: \( \frac{253}{110} + \frac{4}{110} = \frac{257}{110} \).

Ответ: \( \frac{257}{110} \)