ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1) \(0,222…\); 2) \(0,666…\); 3) \(0,(28)\); 4) \(0,1777…\); 5) \(3,454545…\); 6) \(1,4(12)\).

1) 0,222 … = 0,2 + 0,02 + 0,002 + .. = \( \frac{2}{9} \), \( b_1 = 0,2 \), \( b_2 = 0,02 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,02}{0,2} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,2}{1 — 0,1} = \frac{0,2}{0,9} = \frac{2}{9} \). Ответ: \( \frac{2}{9} \)

2) 0,666 … = 0,6 + 0,06 + 0,006 + … = \( \frac{2}{3} \), \( b_1 = 0,6 \), \( b_2 = 0,06 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,06}{0,6} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). Ответ: \( \frac{2}{3} \)

3) 0,(28) = 0,28 + 0,0028 + … = \( \frac{28}{99} \), \( b_1 = 0,28 \), \( b_2 = 0,0028 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0028}{0,28} = 0,01 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,28}{1 — 0,01} = \frac{0,28}{0,99} = \frac{28}{99} \). Ответ: \( \frac{28}{99} \)

4) 0,1777 … = 0,1 + 0,07 + 0,007 + … = \( \frac{8}{45} \), \( b_1 = 0,07 \), \( b_2 = 0,007 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,007}{0,07} = 0,1 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,07}{1 — 0,1} = \frac{0,07}{0,9} = \frac{7}{90} \); \( 0,1 + \frac{7}{90} = \frac{9}{90} + \frac{7}{90} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45} \). Ответ: \( \frac{8}{45} \)

5) 3,454545 … = 3 + 0,45 + 0,0045 + … = \( \frac{38}{11} \), \( b_1 = 0,45 \), \( b_2 = 0,0045 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0045}{0,45} = 0,01 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,45}{1 — 0,01} = \frac{0,45}{0,99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \); \( 3 + \frac{5}{11} = \frac{33}{11} + \frac{5}{11} = \frac{38}{11} \). Ответ: \( \frac{38}{11} \)

6) 1,4(12) = 1,4 + 0,012 + 0,00012 + … = \( \frac{233}{165} \), \( b_1 = 0,012 \), \( b_2 = 0,00012 \); \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,00012}{0,012} = 0,01 \); \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,012}{1 — 0,01} = \frac{0,012}{0,99} = \frac{12}{990} = \frac{2}{165} \); \( 1,4 = \frac{231}{165} \); \( \frac{231}{165} + \frac{2}{165} = \frac{233}{165} \). Ответ: \( \frac{233}{165} \)

1) Для представления бесконечной периодической дроби 0,222… в виде обыкновенной дроби рассмотрим её как сумму бесконечной геометрической прогрессии. Число можно записать как 0,222… = 0,2 + 0,02 + 0,002 + …, где первый член прогрессии \( b_1 = 0,2 \), а каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \).

Определим знаменатель прогрессии \( q \) как отношение второго члена к первому: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,02}{0,2} = 0,1 \). Теперь, используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), подставим значения: \( S = \frac{0,2}{1 — 0,1} = \frac{0,2}{0,9} \).

Выполним деление: \( \frac{0,2}{0,9} = \frac{2}{9} \). Таким образом, 0,222… равно \( \frac{2}{9} \). Ответ: \( \frac{2}{9} \).

2) Рассмотрим дробь 0,666… и представим её как сумму бесконечной геометрической прогрессии: 0,666… = 0,6 + 0,06 + 0,006 + …. Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,6 \), а второй член \( b_2 = 0,06 \).

Найдём знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,06}{0,6} = 0,1 \). Сумма прогрессии вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), подставляем значения: \( S = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9} \).

Выполним упрощение: \( \frac{0,6}{0,9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). Таким образом, 0,666… равно \( \frac{2}{3} \). Ответ: \( \frac{2}{3} \).

3) Для дроби 0,(28), которая записывается как 0,28 + 0,0028 + …, применим метод суммы геометрической прогрессии. Первый член \( b_1 = 0,28 \), второй член \( b_2 = 0,0028 \).

Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0028}{0,28} = 0,01 \). Сумма прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,28}{1 — 0,01} = \frac{0,28}{0,99} \).

Упростим дробь: \( \frac{0,28}{0,99} = \frac{28}{99} \). Таким образом, 0,(28) равно \( \frac{28}{99} \). Ответ: \( \frac{28}{99} \).

4) Число 0,1777… можно представить как 0,1 + 0,07 + 0,007 + …. Здесь есть непериодическая часть 0,1 и периодическая часть, начинающаяся с 0,07. Первый член периодической прогрессии \( b_1 = 0,07 \), второй член \( b_2 = 0,007 \).

Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,007}{0,07} = 0,1 \). Сумма периодической части: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,07}{1 — 0,1} = \frac{0,07}{0,9} = \frac{7}{90} \).

Добавим непериодическую часть: \( 0,1 + \frac{7}{90} = \frac{9}{90} + \frac{7}{90} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45} \). Таким образом, 0,1777… равно \( \frac{8}{45} \). Ответ: \( \frac{8}{45} \).

5) Число 3,454545… состоит из целой части 3 и периодической дробной части 0,454545… = 0,45 + 0,0045 + …. Первый член периодической прогрессии \( b_1 = 0,45 \), второй член \( b_2 = 0,0045 \).

Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0045}{0,45} = 0,01 \). Сумма периодической части: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,45}{1 — 0,01} = \frac{0,45}{0,99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \).

Добавим целую часть: \( 3 + \frac{5}{11} = \frac{33}{11} + \frac{5}{11} = \frac{38}{11} \). Таким образом, 3,454545… равно \( \frac{38}{11} \). Ответ: \( \frac{38}{11} \).

6) Число 1,4(12) записывается как 1,4 + 0,012 + 0,00012 + …. Здесь целая часть с непериодической дробной частью составляет 1,4, а периодическая часть начинается с 0,012. Первый член прогрессии \( b_1 = 0,012 \), второй член \( b_2 = 0,00012 \).

Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,00012}{0,012} = 0,01 \). Сумма периодической части: \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,012}{1 — 0,01} = \frac{0,012}{0,99} = \frac{12}{990} = \frac{2}{165} \).

Непериодическая часть 1,4 равна \( \frac{14}{10} = \frac{231}{165} \). Суммируем: \( \frac{231}{165} + \frac{2}{165} = \frac{233}{165} \). Таким образом, 1,4(12) равно \( \frac{233}{165} \). Ответ: \( \frac{233}{165} \).