ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -60, а её первый член равен -65. Найдите знаменатель прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия: \( S = -60 \), \( b_1 = -65 \);

Первый член прогрессии:
\( b_1 = S \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \);
\( -60 \cdot (1 — q) = -65 \);
\( 12 \cdot (1 — q) = 13 \);
\( 12 — 12q = 13 \);
\( 12q = -1 \);
\( q = -\frac{1}{12} \).

Ответ: \( -\frac{1}{12} \)

Дана геометрическая прогрессия, где сумма членов прогрессии равна \( S = -60 \), а первый член прогрессии \( b_1 = -65 \). Необходимо найти знаменатель прогрессии \( q \).

Для геометрической прогрессии сумма первых \( n \) членов выражается формулой \( S_n = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \), где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — количество членов. В данном случае нам дана сумма \( S = -60 \) и первый член \( b_1 = -65 \), и мы должны определить \( q \).

Подставим известные значения в формулу суммы: \( -60 = -65 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \). Чтобы упростить выражение, умножим обе стороны на \( 1 — q \), предполагая, что \( q \neq 1 \): \( -60 \cdot (1 — q) = -65 \cdot (1 — q^n) \).

Теперь разделим обе стороны на 5, чтобы упростить числа: \( -12 \cdot (1 — q) = -13 \cdot (1 — q^n) \). Умножим обе стороны на -1 для удобства: \( 12 \cdot (1 — q) = 13 \cdot (1 — q^n) \).

Раскроем скобки: \( 12 — 12q = 13 — 13q^n \). Перенесем все члены в одну сторону: \( 12 — 12q — 13 + 13q^n = 0 \), что дает \( 13q^n — 12q — 1 = 0 \).

На этом этапе у нас есть уравнение с \( q^n \), но в исходном решении предполагается, что \( n \) неизвестно, и, возможно, сделано упрощение. Если рассмотреть случай, когда \( n \) велико, а \( q \) по модулю меньше 1, то \( q^n \) стремится к 0. Тогда уравнение упрощается до \( 12 — 12q = 13 \), откуда \( -12q = 1 \), следовательно, \( q = -\frac{1}{12} \).

Проверим это значение. Если \( q = -\frac{1}{12} \), то для больших \( n \) сумма геометрической прогрессии приближается к \( S = b_1 \cdot \frac{1}{1 — q} = -65 \cdot \frac{1}{1 — (-\frac{1}{12})} = -65 \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{12}} = -65 \cdot \frac{1}{\frac{13}{12}} = -65 \cdot \frac{12}{13}=\)
\( = -5 \cdot 12 = -60 \), что совпадает с заданной суммой \( S = -60 \). Значит, предположение оправдано.

Таким образом, знаменатель прогрессии равен \( q = -\frac{1}{12} \).

Ответ: \( -\frac{1}{12} \).