ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_2 = 54, b_5 = 2\);
2) \(b_2 — b_4 = 48, b_1 — b_3 = 240\).

1) \( b_2 = 54, b_5 = 2 \);
В геометрической прогрессии: \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \);
\( \frac{b_5}{b_2} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \); \( q^3 = \frac{1}{27} \); \( q = \frac{1}{3} \);
\( b_1 = 54 \cdot \frac{1}{q} = 54 \cdot 3 = 162 \);
Сумма прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{162}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 243 \);
Ответ: 243.

2) \( b_2 — b_4 = 48, b_1 — b_3 = 240 \);
Второе уравнение:
\( b_1 — b_3 = 240 \); \( b_1 — b_1 \cdot q^2 = 240 \); \( b_1(1 — q^2) = 240 \); \( b_1 = \frac{240}{1 — q^2} \);
Первое уравнение:
\( b_2 — b_4 = 48 \); \( b_1 \cdot q — b_1 \cdot q^3 = 48 \); \( b_1 \cdot q (1 — q^2) = 48 \);
\( \frac{240}{1 — q^2} \cdot q (1 — q^2) = 48 \); \( 240q = 48 \); \( q = \frac{48}{240} = \frac{1}{5} \);
\( b_1 = \frac{240}{1 — \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{240}{1 — \frac{1}{25}} = \frac{240}{\frac{24}{25}} = 240 \cdot \frac{25}{24} = 250 \);
Сумма прогрессии:
\( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{250}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{250}{\frac{4}{5}} = 250 \cdot \frac{5}{4} = 312.5 \);
Ответ: 312.5.

1) Дано: \( b_2 = 54 \), \( b_5 = 2 \). Нужно найти сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Сначала определим, что в геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \( q \). Таким образом, \( b_2 = b_1 \cdot q \), а \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \).

Чтобы найти \( q \), составим отношение \( \frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = q^3 \). Подставим значения: \( \frac{2}{54} = \frac{1}{27} = q^3 \). Отсюда \( q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \).

Теперь найдем первый член прогрессии \( b_1 \). Из выражения \( b_2 = b_1 \cdot q \) следует, что \( b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{54}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot 3 = 162 \).

Для бесконечной геометрической прогрессии с \( |q| < 1 \) сумма вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Подставим значения: \( S = \frac{162}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 243 \). Ответ: 243. 2) Дано: \( b_2 - b_4 = 48 \), \( b_1 - b_3 = 240 \). Нужно найти сумму бесконечной геометрической прогрессии. Запишем условия задачи в виде уравнений. В геометрической прогрессии \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \). Тогда второе условие: \( b_1 - b_3 = b_1 - b_1 \cdot q^2 = b_1(1 - q^2) = 240 \). Отсюда \( b_1 = \frac{240}{1 - q^2} \). Первое условие: \( b_2 - b_4 = b_1 \cdot q - b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q (1 - q^2) = 48 \). Подставим выражение для \( b_1 \): \( \frac{240}{1 - q^2} \cdot q \cdot (1 - q^2) = 240q = 48 \). Отсюда \( q = \frac{48}{240} = \frac{1}{5} \). Теперь найдем \( b_1 \). Подставим \( q = \frac{1}{5} \) в выражение для \( b_1 \): \( b_1 = \frac{240}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{240}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{240}{\frac{24}{25}} = 240 \cdot \frac{25}{24} = 250 \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии с \( |q| < 1 \) вычисляется как \( S = \frac{b_1}{1 - q} \). Подставим значения: \( S = \frac{250}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{250}{\frac{4}{5}} = 250 \cdot \frac{5}{4} = 312.5 \). Ответ: 312.5.