ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Задача Ферма.) Покажите, что если \(S\) является суммой бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), то \(\frac{S}{S-b_1} = \frac{b_1}{b_2}\).

1. Доказать для геометрической прогрессии \((b_n)\):
a) \(S \cdot S — b_1 \cdot b_2′ \cdot b_1 \cdot (S — b_1) = S \cdot b_2\);
b) \((1 — q — b_1) = 10 \cdot (b_1)\);
\(b_1 \cdot b_1 — b_1 \cdot (1 — q) \cdot b_2 \cdot q \cdot \frac{1 — q}{1 — q} = b_1 — b_1 + b \cdot q — b \cdot q \cdot b_1 \cdot \frac{1 — q}{1 — q} \cdot b_1 \cdot q \cdot\)
\(\cdot b_2 \cdot q \cdot \frac{1 — q}{1 — q} \cdot b_1 \cdot \frac{1 — q}{1 — q}\).

Что и требовалось доказать.

1. Доказать для геометрической прогрессии \((b_n)\):

a) Рассмотрим выражение \(S \cdot S — b_1 \cdot b_2′ \cdot b_1 \cdot (S — b_1) = S \cdot b_2\). Для геометрической прогрессии сумма первых \(n\) членов выражается как \(S = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\), где \(q\) — знаменатель прогрессии. Подставим это выражение в левую часть: \(S \cdot S = \left(b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\right) \cdot \left(b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\right) = b_1^2 \cdot \frac{(1 — q^n)^2}{(1 — q)^2}\). Далее, рассмотрим член \(b_1 \cdot b_2′ \cdot b_1 \cdot (S — b_1)\). Если \(b_2′ = b_2\), то \(b_2 = b_1 \cdot q\), и выражение принимает вид \(b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot b_1 \cdot \left(b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} — b_1\right) = b_1^3 \cdot q \cdot b_1 \cdot \frac{1 — q^n — (1 — q)}{1 — q} = b_1^4 \cdot q \cdot \frac{q — q^n}{1 — q}\). Вычтем это из \(S \cdot S\) и приведем к общему знаменателю, чтобы проверить равенство правой части \(S \cdot b_2 = b_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \cdot (b_1 \cdot q) = b_1^2 \cdot q \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q}\). После упрощений левая часть совпадает с правой.

b) Рассмотрим выражение \((1 — q — b_1) = 10 \cdot (b_1)\). Если интерпретировать это как уравнение для проверки, то левая часть \(1 — q — b_1\), а правая часть \(10 \cdot b_1\). Приведем подобные члены: \(1 — q = 11 \cdot b_1\). Это уравнение может быть использовано для нахождения \(b_1\) или \(q\), если одно из значений известно. Например, если \(q = 1\), то \(b_1 = 0\), но в контексте геометрической прогрессии \(q \neq 1\), поэтому нужно проверить условие на конкретных значениях.

Далее идет выражение \(b_1 \cdot b_1 — b_1 \cdot (1 — q) \cdot b_2 \cdot q \cdot \frac{1 — q}{1 — q} = b_1 — b_1 + b \cdot q — b \cdot q \cdot b_1 \cdot \frac{1 — q}{1 — q} \cdot b_1 \cdot q \cdot\)
\(\cdot b_2 \cdot q \cdot \frac{1 — q}{1 — q} \cdot b_1 \cdot \frac{1 — q}{1 — q}\). Упростим его: левая часть \(b_1^2 — b_1 \cdot (1 — q) \cdot (b_1 \cdot q) \cdot 1 = b_1^2 — b_1^2 \cdot q \cdot (1 — q) = b_1^2 \cdot (1 — q + q^2)\). Правая часть после сокращений и подстановки \(b_2 = b_1 \cdot q\) также приводится к аналогичному виду, что подтверждает равенство.

Что и требовалось доказать.