ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Нечётная функция \( f \) имеет 4 нуля. Докажите, что \( 0 \notin D(f) \)

Поскольку функция \( f \) нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Если точка \( (a, 0) \) принадлежит графику, то и точка \( (-a, 0) \) тоже принадлежит ему, то есть нули идут парами при \( a \neq 0 \). Так как всего 4 нуля, а это чётное число, точка \( x = 0 \) не может быть нулём, иначе количество нулей стало бы нечётным. Следовательно, \( 0 \notin D(f) \).

1) Если графику нечётной функции \( f \) принадлежит точка \( M(a, 0) \), то, в силу симметрии относительно начала координат, ему также принадлежит точка \( M_1(-a, 0) \). Это означает, что при \( a \neq 0 \) количество нулей функции всегда кратно двум, так как каждый нуль \( a \) имеет пару \( -a \).

2) Если графику нечётной функции \( f \) принадлежит точка \( M(0, b) \), то, опять же из-за симметрии, ему должна принадлежать точка \( M_1(0, -b) \). Поскольку это одна и та же точка на оси \( y \), то \( b = -b \), а значит, \( b = 0 \). Таким образом, если \( x = 0 \) является точкой графика, то значение функции в этой точке должно быть равно нулю.

3) Из вышесказанного следует, что если \( 0 \in D(f) \), то есть если \( x = 0 \) входит в область определения функции, и функция в этой точке определена, то \( f(0) = 0 \), и количество нулей становится нечётным (так как к парным нулям добавляется ещё один в точке \( x = 0 \)). Однако в условии указано, что функция имеет ровно четыре нуля, то есть чётное количество. Это противоречит предположению, что \( x = 0 \) является нулём. Следовательно, \( 0 \notin D(f) \), то есть \( x = 0 \) не входит в область определения функции. Что и требовалось доказать.