ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Нечётная функция \( f \) имеет 7 нулей. Найдите \( f(0) \).

Если нечётная функция \( f \) имеет 7 нулей, то для каждой точки \( M(a; 0) \) на графике функции существует симметричная точка \( M_1(-a; 0) \). Поскольку количество нулей нечётное, один из нулей должен быть в точке \( a = 0 \), так как только в этом случае \( a = -a \). Следовательно, \( f(0) = 0 \).

Нечётная функция \( f \) имеет 7 нулей. Нам нужно найти значение \( f(0) \). Рассмотрим свойства нечётных функций и особенности их графика, чтобы определить, чему равно значение функции в точке \( x = 0 \).

Сначала вспомним определение нечётной функции. Функция \( f \) называется нечётной, если для любого \( x \) из области определения выполняется равенство \( f(-x) = -f(x) \). Это означает, что график такой функции симметричен относительно начала координат. Если точка \( (a, b) \) принадлежит графику функции, то точка \( (-a, -b) \) также должна принадлежать этому графику.

Теперь обратим внимание на нули функции, то есть на точки, где \( f(x) = 0 \). Если \( x = a \) является нулём функции, то \( f(a) = 0 \). Подставим \( x = -a \) в определение нечётной функции: \( f(-a) = -f(a) = -0 = 0 \). Таким образом, если \( x = a \) — нуль функции, то и \( x = -a \) тоже является нулём функции. Это означает, что нули нечётной функции располагаются парами, симметричными относительно начала координат.

Учитывая, что всего у функции 7 нулей, а это нечётное число, не все нули могут быть парными. Если у нас есть пара нулей \( a \) и \( -a \), то количество нулей в такой паре всегда чётное. Следовательно, для нечётного общего числа нулей должен существовать хотя бы один нуль, который не имеет пары, то есть для которого \( a = -a \). Решаем это уравнение: \( a = -a \), что эквивалентно \( 2a = 0 \), откуда \( a = 0 \).

Таким образом, точка \( x = 0 \) должна быть одним из нулей функции, чтобы общее количество нулей оставалось нечётным. Это означает, что \( f(0) = 0 \), так как только в этом случае нуль в точке \( x = 0 \) не образует пары с другим значением.

Рассмотрим это на примере. Если бы у функции было 6 нулей, то все они могли бы быть парными, например, \( x = 1, -1, 2, -2, 3, -3 \), и тогда \( f(0) \) не обязательно равно нулю. Но при нечётном количестве нулей, таком как 7, один из нулей должен быть непарным, и это может быть только \( x = 0 \).

Итак, из условия задачи следует, что поскольку количество нулей нечётное, функция должна иметь нуль в точке \( x = 0 \). Поэтому \( f(0) = 0 \).

Ответ: \( f(0) = 0 \).