ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чётная функция \( f \) имеет 7 нулей. Найдите \( f(0) \)

\( f(0) = 0 \), так как у чётной функции количество нулей может быть нечётным только если один из них находится в точке \( x = 0 \), ведь для каждой пары симметричных нулей \( x = a \) и \( x = -a \) их количество чётное, а \( x = 0 \) является единственной точкой, где \( a = -a \).

1) Чётная функция \( f \) удовлетворяет свойству \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Это означает, что график функции симметричен относительно оси \( y \). Если точка \( M(a, 0) \) принадлежит графику функции, то есть \( f(a) = 0 \), то из свойства чётности следует, что \( f(-a) = f(a) = 0 \). Таким образом, точка \( M_1(-a, 0) \) также принадлежит графику функции.

2) Нули функции — это значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). Поскольку функция чётная, нули располагаются симметрично относительно начала координат. Если \( x = a \) является нулём, то и \( x = -a \) тоже является нулём. Это означает, что нули, отличные от \( x = 0 \), всегда образуют пары \( (a, -a) \), и их количество в каждой такой паре чётное. Следовательно, общее количество нулей может быть нечётным только в том случае, если один из нулей находится в точке \( x = 0 \), так как \( a = -a \) выполняется только при \( a = 0 \).

3) В данной задаче указано, что функция \( f \) имеет 7 нулей, что является нечётным числом. На основании вывода из пункта 2, это возможно только если \( x = 0 \) является одним из нулей функции. Значит, \( f(0) = 0 \).

Ответ: \( f(0) = 0 \).