ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию \( f(n) = (2 + 3)^n + (2 — 3)^n \), \( D(f) = \mathbb{Z} \).

Для исследования функции \( f(n) = (2 + 3)^n + (2 — 3)^n \) на чётность вычислим \( f(-n) \). Подставим \(-n\): \( f(-n) = (2 + 3)^{-n} + (2 — 3)^{-n} = \left(\frac{1}{2 + 3}\right)^n + \left(\frac{1}{2 — 3}\right)^n = (2 — 3)^n +\)
\(+ (2 + 3)^n = f(n) \). Поскольку \( f(-n) = f(n) \), функция является чётной.

3.15. Исследовать на чётность функцию \( f(n) = (2 + \sqrt{3})^n + (2 — \sqrt{3})^n \), где область определения \( D(f) = \mathbb{Z} \).

Для определения чётности функции необходимо проверить, выполняется ли равенство \( f(-n) = f(n) \) для всех \( n \) из области определения. Если это условие выполняется, то функция является чётной.

Вычислим значение функции при \(-n\). Подставим \(-n\) в выражение для \( f(n) \): \( f(-n) = (2 + \sqrt{3})^{-n} + (2 — \sqrt{3})^{-n} \).

Преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени: \( (2 + \sqrt{3})^{-n} = \left(\frac{1}{2 + \sqrt{3}}\right)^n \), а \( (2 — \sqrt{3})^{-n} = \left(\frac{1}{2 — \sqrt{3}}\right)^n \). Заметим, что \( \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 — \sqrt{3} \), а \( \frac{1}{2 — \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \). Это можно проверить, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

Таким образом, \( \left(\frac{1}{2 + \sqrt{3}}\right)^n = (2 — \sqrt{3})^n \), а \( \left(\frac{1}{2 — \sqrt{3}}\right)^n = (2 + \sqrt{3})^n \). Подставим эти значения в выражение для \( f(-n) \): \( f(-n) = (2 — \sqrt{3})^n + (2 + \sqrt{3})^n \).

Сравним полученное выражение с исходной функцией: \( f(-n) = (2 — \sqrt{3})^n + (2 + \sqrt{3})^n = f(n) \). Видно, что \( f(-n) = f(n) \), а значит, функция удовлетворяет условию чётности.

Дополнительно отметим, что область определения функции \( D(f) = \mathbb{Z} \) симметрична относительно нуля, то есть если \( n \) принадлежит области определения, то и \(-n\) также принадлежит ей. Это подтверждает возможность проверки чётности.

На основании выполненных вычислений заключаем, что функция \( f(n) = (2 + \sqrt{3})^n + (2 — \sqrt{3})^n \) является чётной. Ответ: функция чётная.