ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию \( f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n \), \( D(f) = \mathbb{Z} \).

Для исследования функции \( f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n \) на чётность вычислим \( f(-n) \):

\( f(-n) = (\sqrt{2} + 1)^{-n} — (\sqrt{2} — 1)^{-n} = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^n} — \frac{1}{(\sqrt{2} — 1)^n} \).

Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} — 1 \) и \( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} = \sqrt{2} + 1 \), поэтому:

\( f(-n) = (\sqrt{2} — 1)^n — (\sqrt{2} + 1)^n = -[(\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n] = -f(n) \).

Таким образом, \( f(-n) = -f(n) \), что означает, что функция нечётная.

1. Для исследования функции \( f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n \) на чётность, где область определения \( D(f) = \mathbb{Z} \), необходимо проверить, выполняется ли условие \( f(-n) = f(n) \) (для чётной функции) или \( f(-n) = -f(n) \) (для нечётной функции). Начнём с вычисления значения функции в точке \( -n \).

2. Подставим \( -n \) в выражение функции: \( f(-n) = (\sqrt{2} + 1)^{-n} — (\sqrt{2} — 1)^{-n} \). Это можно переписать как \( f(-n) = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^n} — \frac{1}{(\sqrt{2} — 1)^n} \), поскольку отрицательная степень означает взятие обратного значения.

3. Теперь упростим выражения в знаменателях. Рассмотрим \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{2} — 1 \), чтобы избавиться от иррациональности: \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{2} — 1}{(\sqrt{2})^2 — (1)^2} = \frac{\sqrt{2} — 1}{2 — 1} = \sqrt{2} — 1 \).

4. Аналогично для второго слагаемого: \( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 — (1)^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} = \sqrt{2} + 1 \).

5. Подставим полученные значения обратно в выражение для \( f(-n) \): \( f(-n) = (\sqrt{2} — 1)^n — (\sqrt{2} + 1)^n \). Заметим, что это выражение можно переписать как \( f(-n) = -[(\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n] \), что равно \( -f(n) \).

6. Таким образом, мы получили \( f(-n) = -f(n) \), что соответствует определению нечётной функции. Это означает, что функция \( f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n \) является нечётной.

7. Проверим симметрию области определения. Так как \( D(f) = \mathbb{Z} \), то для любого \( n \in \mathbb{Z} \) также \( -n \in \mathbb{Z} \), следовательно, область определения симметрична относительно нуля, что позволяет корректно применять понятие чётности и нечётности.

8. Для дополнительной проверки можно рассмотреть конкретные значения. Например, при \( n = 1 \): \( f(1) = (\sqrt{2} + 1)^1 — (\sqrt{2} — 1)^1 = \sqrt{2} + 1 — \sqrt{2} + 1 = 2 \). Теперь для \( n = -1 \): \( f(-1) = (\sqrt{2} + 1)^{-1} — (\sqrt{2} — 1)^{-1} = (\sqrt2 — 1) — (\sqrt2 + 1) = -2 \), то есть \( f(-1) = -f(1) \), что подтверждает нечётность.

9. Аналогично для \( n = 2 \): \( f(2) = (\sqrt{2} + 1)^2 — (\sqrt{2} — 1)^2 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) — (2 — 2\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2} \), а \( f(-2) = (\sqrt{2} — 1)^2 — (\sqrt{2} + 1)^2 = (2 — 2\sqrt{2} + 1) — (2 + 2\sqrt{2} + 1) = -4\sqrt{2} \), снова \( f(-2) = -f(2) \).

10. На основании проведённых вычислений и проверок заключаем, что функция \( f(n) = (\sqrt{2} + 1)^n — (\sqrt{2} — 1)^n \) является нечётной, так как для всех \( n \in \mathbb{Z} \) выполняется равенство \( f(-n) = -f(n) \). Ответ: нечётная.