ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чётная функция \( f \), определённая на \( \mathbb{R} \), возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Определите, возрастающей или убывающей является функция \( f \) на промежутке \( (-\infty; 0] \).

Функция \( f \), будучи чётной, удовлетворяет условию \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Поскольку она возрастает на \( [0; +\infty) \), то есть для любых \( x_1 < x_2 \) из \( [0; +\infty) \) выполняется \( f(x_1) < f(x_2) \), рассмотрим поведение на \( (-\infty; 0] \). Возьмём \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Тогда \( -x_1 > -x_2 \geq 0 \), и так как функция возрастает на \( [0; +\infty) \), имеем \( f(-x_1) > f(-x_2) \). Но из чётности следует, что \( f(-x_1) = f(x_1) \) и \( f(-x_2) = f(x_2) \), значит \( f(x_1) > f(x_2) \). Таким образом, на \( (-\infty; 0] \) функция \( f \) является убывающей.

1. Дано, что функция \( f \) является чётной и определена на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) выполняется равенство \( f(-x) = f(x) \). Кроме того, указано, что функция \( f \) возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Наша задача — определить, является ли функция \( f \) возрастающей или убывающей на промежутке \( (-\infty; 0] \).

2. Сначала разберём, что значит, что функция возрастает на \( [0; +\infty) \). Это означает, что для любых двух точек \( x_1 \) и \( x_2 \) из этого промежутка, таких что \( x_1 < x_2 \), выполняется неравенство \( f(x_1) < f(x_2) \). Иными словами, с увеличением аргумента значение функции увеличивается на неотрицательной полуоси. 3. Теперь нам нужно исследовать поведение функции на промежутке \( (-\infty; 0] \), то есть на отрицательной полуоси, включая ноль. Для этого возьмём две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из этого промежутка, такие что \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Поскольку \( x_1 \) и \( x_2 \) отрицательны или равны нулю, их противоположные значения \( -x_1 \) и \( -x_2 \) будут неотрицательными, то есть \( -x_1 \geq 0 \) и \( -x_2 \geq 0 \). 4. Так как \( x_1 < x_2 \), умножение на \(-1\) меняет знак неравенства, и мы получаем \( -x_1 > -x_2 \). Поскольку \( -x_1 \) и \( -x_2 \) принадлежат промежутку \( [0; +\infty) \), где функция \( f \) возрастает, то из \( -x_1 > -x_2 \) следует, что \( f(-x_1) > f(-x_2) \).

5. Теперь используем свойство чётности функции. По определению чётной функции, \( f(-x_1) = f(x_1) \) и \( f(-x_2) = f(x_2) \). Подставим эти равенства в полученное неравенство: из \( f(-x_1) > f(-x_2) \) следует, что \( f(x_1) > f(x_2) \).

6. Итак, мы получили, что для любых \( x_1 < x_2 \leq 0 \) выполняется \( f(x_1) > f(x_2) \). Это означает, что с увеличением аргумента на промежутке \( (-\infty; 0] \) значение функции уменьшается. Следовательно, функция \( f \) является убывающей на этом промежутке.

7. Таким образом, на основании свойства чётности и условия возрастания на \( [0; +\infty) \) мы заключаем, что функция \( f \) убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \). Ответ на вопрос задачи: функция \( f \) является убывающей на \( (-\infty; 0] \).