ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Нечётная функция \( f \), определённая на \( \mathbb{R} \), возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Определите, возрастающей или убывающей является функция \( f \) на промежутке \( (-\infty; 0] \).

Поскольку функция \( f \) нечётная, то \( f(-x) = -f(x) \) для любого \( x \in \mathbb{R} \). На промежутке \( [0; +\infty) \) функция возрастает, то есть если \( x_1 < x_2 \), то \( f(x_1) < f(x_2) \). Рассмотрим \( x_1 < x_2 \leq 0 \), тогда \( -x_2 < -x_1 \), и так как \( -x_1, -x_2 > 0 \), имеем \( f(-x_1) < f(-x_2) \). Используя свойство нечётности: \( -f(x_1) < -f(x_2) \), что эквивалентно \( f(x_1) > f(x_2) \). Таким образом, на промежутке \( (-\infty; 0] \) функция убывает.

1) Пусть \( x_2 > x_1 \geq 0 \), тогда, поскольку функция \( f \) возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \), выполняется неравенство \( f(x_2) > f(x_1) \). Это означает, что разность значений функции \( f(x_1) — f(x_2) < 0 \). 2) Теперь рассмотрим аргументы с обратным знаком. Если \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то при умножении на \(-1\) получаем \( -x_2 < -x_1 \leq 0 \). Таким образом, точки \( -x_2 \) и \( -x_1 \) лежат на промежутке \( (-\infty; 0] \), и при этом \( -x_2 < -x_1 \). 3) Найдем разность значений функции в этих точках. Поскольку \( f \) — нечётная функция, то \( f(-x) = -f(x) \) для любого \( x \in \mathbb{R} \). Тогда \( f(-x_2) = -f(x_2) \) и \( f(-x_1) = -f(x_1) \). Вычислим разность: \( f(-x_2) - f(-x_1) = -f(x_2) - (-f(x_1)) = -f(x_2) + f(x_1) = f(x_1) - f(x_2) \). Из пункта 1 мы знаем, что \( f(x_1) - f(x_2) < 0 \), следовательно, \( f(-x_2) - f(-x_1) < 0 \), то есть \( f(-x_2) < f(-x_1) \). 4) Поскольку \( -x_2 < -x_1 \leq 0 \), а \( f(-x_2) < f(-x_1) \), это означает, что при увеличении аргумента на промежутке \( (-\infty; 0] \) значение функции уменьшается. Таким образом, функция \( f \) убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \). Ответ: функция \( f \) убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \).