ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Нечётная функция \( f \), определённая на \( \mathbb{R} \), возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Определите, возрастающей или убывающей является функция \( f \) на промежутке \( (-\infty; 0] \).

Пусть \(f\) — нечётная: \(f(-x)=-f(x)\). На \([0,+\infty)\) функция возрастает: если \(x_2>x_1\ge 0\), то \(f(x_2)>f(x_1)\).

Рассмотрим \((- \infty,0]\). Возьмём \(y_2>y_1\) с \(y_2,y_1\le 0\). Тогда \(-y_2< -y_1\) и оба \(-y_i\ge 0\). Из возрастания на \([0,+\infty)\): \(f(-y_2)<f(-y_1)\). По нечётности: \(-f(y_2)<-f(y_1)\), то есть \(f(y_2)>f(y_1)\).

Итак, на \((- \infty,0]\) функция тоже возрастает.

Пусть функция \(f\) нечётная, то есть для любого действительного \(x\) выполнено равенство \(f(-x)=-f(x)\). Также известно, что на отрезке \([0,+\infty)\) функция возрастает: если \(x_2>x_1\) и \(x_1,x_2\ge 0\), то выполняется неравенство \(f(x_2)>f(x_1)\). Требуется установить характер монотонности на полуинтервале \((- \infty,0]\). Для этого сравним значения функции в двух произвольных отрицательных точках, опираясь на известную монотонность справа от нуля и нечётность.

Выберем любые \(y_1,y_2\le 0\) такие, что \(y_2>y_1\). Тогда их противоположные числа удовлетворяют \(-y_2<-y_1\) и одновременно \(-y_2\ge 0\), \(-y_1\ge 0\). Поскольку на \([0,+\infty)\) функция возрастает, из сравнения аргументов \(-y_2<-y_1\) следует \(f(-y_2)<f(-y_1)\). Теперь применим нечётность: \(f(-y_2)=-f(y_2)\) и \(f(-y_1)=-f(y_1)\). Подставляя, получаем \(-f(y_2)<-f(y_1)\). Умножение обоих частей неравенства на \(-1\) меняет знак, поэтому выходит \(f(y_2)>f(y_1)\). А это именно определение возрастания на \((- \infty,0]\): большему аргументу \(y_2\) соответствует большее значение функции.

Следовательно, для любых отрицательных \(y_1<y_2\) выполнено \(f(y_1)<f(y_2)\). Это завершающий шаг: используя монотонность на \([0,+\infty)\) и свойство нечётности \(f(-x)=-f(x)\), мы показали, что порядок значений на левом полуинтервале согласуется с порядком аргументов. Значит, функция \(f\) возрастает на всём полуинтервале \((- \infty,0]\).