ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( f \) нечётная и \( \min f(x) = 1 \), \( \max f(x) = 3 \). Найдите \( \min f(x) \), \( \max f(x) \) на интервалах \( [2; 5] \), \( [-5; -2] \).

Поскольку функция \( f \) нечётная, для любой точки \( (a, b) \) на графике функции существует точка \( (-a, -b) \). Следовательно, на интервале \( [-5; -2] \), который является симметричным к \( [2; 5] \) относительно начала координат, значения функции будут противоположными. Таким образом, если на \( [2; 5] \) \( \min f(x) = 1 \), то на \( [-5; -2] \) \( \min f(x) = — \max f(x) = -3 \), а если на \( [2; 5] \) \( \max f(x) = 3 \), то на \( [-5; -2] \) \( \max f(x) = — \min f(x) = -1 \).

Ответ: на \( [-5; -2] \): \( \min f(x) = -3 \), \( \max f(x) = -1 \).

1. Дано, что функция \( f \) является нечётной, а также известно, что на интервале \( [2; 5] \) минимальное значение функции равно \( \min f(x) = 1 \), а максимальное значение равно \( \max f(x) = 3 \). Нам необходимо определить минимальное и максимальное значения функции на интервале \( [-5; -2] \).

2. Напомним, что нечётная функция удовлетворяет условию \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Это означает, что график такой функции симметричен относительно начала координат. Если точка \( (a, b) \) принадлежит графику функции, то точка \( (-a, -b) \) также принадлежит этому графику.

3. Рассмотрим интервалы \( [2; 5] \) и \( [-5; -2] \). Заметим, что интервал \( [-5; -2] \) является симметричным отражением интервала \( [2; 5] \) относительно начала координат. Это следует из того, что если \( x \in [2; 5] \), то \( -x \in [-5; -2] \).

4. Поскольку функция нечётная, значения функции на симметричных точках противоположны. Если на интервале \( [2; 5] \) функция принимает значение \( f(x) \), то на интервале \( [-5; -2] \) в точке \( -x \) функция примет значение \( f(-x) = -f(x) \).

5. Теперь найдём минимальное значение функции на интервале \( [-5; -2] \). Так как на интервале \( [2; 5] \) максимальное значение функции равно \( \max f(x) = 3 \), то в соответствующей симметричной точке на интервале \( [-5; -2] \) функция примет значение \( -3 \). Следовательно, минимальное значение на \( [-5; -2] \) будет \( \min f(x) = -3 \).

6. Аналогично найдём максимальное значение функции на интервале \( [-5; -2] \). Поскольку на интервале \( [2; 5] \) минимальное значение функции равно \( \min f(x) = 1 \), то в соответствующей симметричной точке на интервале \( [-5; -2] \) функция примет значение \( -1 \). Следовательно, максимальное значение на \( [-5; -2] \) будет \( \max f(x) = -1 \).

7. Таким образом, мы определили значения функции на заданном интервале, используя свойство нечётности функции и симметрию интервалов относительно начала координат.

8. Убедимся, что интервалы действительно симметричны: левая граница \( 2 \) переходит в \( -2 \), а правая граница \( 5 \) переходит в \( -5 \), что соответствует интервалу \( [-5; -2] \).

9. Итак, на основании свойства нечётности функции и симметрии значений мы заключаем, что минимальное и максимальное значения на интервале \( [-5; -2] \) являются противоположными по знаку значениями на интервале \( [2; 5] \).

10. Ответ: на интервале \( [-5; -2] \) минимальное значение функции равно \( \min f(x) = -3 \), а максимальное значение равно \( \max f(x) = -1 \).