ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \( a \), при которых функция \( y = (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 \) является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) Для чётности функции должно выполняться \( y(-x) = y(x) \). Подставим \( -x \) в функцию: \( y(-x) = (-x — 1)^4 + a(-x + 1)^4 = (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 \). Условие чётности: \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 = (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 \). Перенесём слагаемые: \( a(x — 1)^4 — a(x + 1)^4 = (x — 1)^4 — (x + 1)^4 \). Выносим \( a \): \( a \cdot [(x — 1)^4 — (x + 1)^4] = (x — 1)^4 — (x + 1)^4 \). Так как \( (x — 1)^4 — (x + 1)^4 \neq 0 \) для большинства \( x \), делим обе стороны на эту разность: \( a = 1 \). Ответ: \( a = 1 \).

2) Для нечётности функции должно выполняться \( y(-x) = -y(x) \). Подставим \( -x \): \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 = -[(x — 1)^4 + a(x + 1)^4] \). Раскроем: \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 = -(x — 1)^4 — a(x + 1)^4 \). Перенесём слагаемые: \( a(x — 1)^4 + a(x + 1)^4 = -(x — 1)^4 — (x + 1)^4 \). Выносим \( a \): \( a \cdot [(x — 1)^4 + (x + 1)^4] = -[(x — 1)^4 + (x + 1)^4] \). Делим на сумму: \( a = -1 \). Ответ: \( a = -1 \).

1) Рассмотрим условие чётности функции \( y = (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 \). Для того чтобы функция была чётной, должно выполняться равенство \( y(-x) = y(x) \) для всех \( x \) из области определения. Подставим \( -x \) вместо \( x \) в выражение функции: \( y(-x) = ((-x) — 1)^4 + a((-x) + 1)^4 = (-x — 1)^4 + a(-x + 1)^4 \). Учитывая, что \( (-x — 1) = -(x + 1) \), а \( (-x + 1) = -(x — 1) \), и возведение в чётную степень (4) устраняет знак минус, получим: \( (-x — 1)^4 = (x + 1)^4 \) и \( (-x + 1)^4 = (x — 1)^4 \). Таким образом, \( y(-x) = (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 \).

Теперь запишем условие чётности: \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 = (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 \). Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы привести уравнение к виду, удобному для решения относительно \( a \): \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 — (x — 1)^4 — a(x + 1)^4 = 0 \). Сгруппируем слагаемые: \( (x + 1)^4 — (x + 1)^4 \cdot a + a(x — 1)^4 — (x — 1)^4 = 0 \), или, переписав, \( a \cdot [(x — 1)^4 — (x + 1)^4] + [(x + 1)^4 — (x — 1)^4] = 0 \). Заметим, что \( (x + 1)^4 — (x — 1)^4 = -[(x — 1)^4 — (x + 1)^4] \), поэтому можно упростить: \( a \cdot [(x — 1)^4 — (x + 1)^4] — [(x — 1)^4 — (x + 1)^4] = 0 \), или \( (a — 1) \cdot [(x — 1)^4 — (x + 1)^4] = 0 \).

Поскольку выражение \( (x — 1)^4 — (x + 1)^4 \) не равно нулю для всех \( x \) (например, при \( x = 0 \) оно равно \( -16 \)), то для выполнения равенства необходимо, чтобы \( a — 1 = 0 \), то есть \( a = 1 \). Таким образом, функция является чётной при \( a = 1 \). Ответ: \( a = 1 \).

2) Теперь рассмотрим условие нечётности функции \( y = (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 \). Для того чтобы функция была нечётной, должно выполняться равенство \( y(-x) = -y(x) \) для всех \( x \) из области определения. Как и в предыдущем пункте, подставим \( -x \) вместо \( x \): \( y(-x) = (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 \). Выражение для \( -y(x) \) будет: \( -y(x) = -[(x — 1)^4 + a(x + 1)^4] = -(x — 1)^4 — a(x + 1)^4 \).

Запишем условие нечётности: \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 = -(x — 1)^4 — a(x + 1)^4 \). Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: \( (x + 1)^4 + a(x — 1)^4 + (x — 1)^4 + a(x + 1)^4 = 0 \). Сгруппируем слагаемые: \( [(x + 1)^4 + (x — 1)^4] + a \cdot [(x — 1)^4 + (x + 1)^4] = 0 \). Заметим, что \( (x + 1)^4 + (x — 1)^4 \) — это положительное выражение для всех \( x \), не равных нулю, и при \( x = 0 \) оно равно 2, то есть не равно нулю. Выносим общий множитель: \( (1 + a) \cdot [(x — 1)^4 + (x + 1)^4] = 0 \).

Поскольку \( (x — 1)^4 + (x + 1)^4 \neq 0 \), то для выполнения равенства необходимо, чтобы \( 1 + a = 0 \), то есть \( a = -1 \). Таким образом, функция является нечётной при \( a = -1 \). Ответ: \( a = -1 \).