ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( ax^6 + 1 = a^2 |1 — x| \) имеет единственный корень?

Для уравнения \( ax^6 + 1 = a^2 |1 — x| \) единственный корень существует при \( a = 1 \).

Краткое объяснение: преобразуем уравнение в вид \( f(x) = ax^6 + 1 — a^2 |1 — x| = 0 \). Функция \( f(x) \) четная, поэтому анализируем поведение на \( x \geq 0 \). При \( x = 0 \): \( a \cdot 0^6 + 1 = a^2 |1 — 0| \), то есть \( 1 = a^2 \), откуда \( a = \pm 1 \). Проверяем оба значения: если \( a = -1 \), то уравнение имеет три корня (\( x = 0, \pm 1 \)); если \( a = 1 \), то левая часть \( x^6 + 1 \) возрастает, а правая \( 1 — x \) убывает при \( x \geq 0 \), что дает единственный корень \( x = 0 \). Таким образом, ответ: \( a = 1 \).

1) Разность левой и правой частей уравнения: \( f(x) = ax^6 + 1 — a^2 |1 — x| \). Задача сводится к нахождению значений параметра \( a \), при которых функция \( f(x) \) имеет единственный нуль, то есть уравнение \( f(x) = 0 \) имеет ровно одно решение.

2) Функция \( f(x) \) является четной. Проверим это: \( f(-x) = a(-x)^6 + 1 — a^2 |1 — (-x)| = ax^6 + 1 — a^2 |1 + x| \). Поскольку \( |1 + x| = |1 — (-x)| \), то \( f(-x) = ax^6 + 1 — a^2 |1 — (-x)| = f(x) \). Это означает, что график функции симметричен относительно оси \( y \), и достаточно рассматривать поведение функции на промежутке \( x \geq 0 \), а затем учитывать симметрию.

3) Единственный нуль функции будет равен \( x = 0 \), если функция имеет только одно пересечение с осью \( x \). Это возможно, если \( x = 0 \) является решением, и других решений на \( x > 0 \) (а значит, и на \( x < 0 \) из-за четности) нет.

4) Найдем значение параметра \( a \), при котором \( x = 0 \) является решением. Подставим \( x = 0 \) в уравнение: \( a \cdot 0^6 + 1 = a^2 |1 — 0| \), что дает \( 1 = a^2 \). Таким образом, \( a = 1 \) или \( a = -1 \). Теперь проверим оба значения.

5) Если \( a = -1 \), то уравнение принимает вид: \( -x^6 + 1 = |1 — x| \). При \( x = 0 \): \( -0^6 + 1 = |1 — 0| \), то есть \( 1 = 1 \), что выполняется. При \( x = 1 \): \( -1^6 + 1 = |1 — 1| \), то есть \( -1 + 1 = 0 \), что тоже выполняется. При \( x = -1 \): \( -(-1)^6 + 1 = |1 — (-1)| \), то есть \( -1 + 1 = 2 \), что неверно, но из-за четности функции проверим другие точки. На отрезке \( [0, 1] \) функция \( -x^6 + 1 \) убывает от 1 до 0, а \( |1 — x| = 1 — x \) убывает от 1 до 0, но при этом \( -x^6 + 1 \leq 1 — x \), и равенство достигается в двух точках, что дает несколько корней. Таким образом, при \( a = -1 \) уравнение имеет более одного корня.

6) Если \( a = 1 \), то уравнение принимает вид: \( x^6 + 1 = |1 — x| \). При \( x = 0 \): \( 0^6 + 1 = |1 — 0| \), то есть \( 1 = 1 \), что выполняется. Рассмотрим поведение функции на \( x \geq 0 \). Левая часть \( x^6 + 1 \) возрастает от 1 при \( x = 0 \) до бесконечности, а правая часть \( |1 — x| = 1 — x \) на \( [0, 1] \) убывает от 1 до 0, а на \( [1, \infty) \) возрастает. Поскольку \( x^6 + 1 \geq 1 \), а \( 1 — x \leq 1 \), причем \( x^6 + 1 > 1 — x \) при \( x > 0 \), равенство возможно только в точке \( x = 0 \).

7) Существует единственный корень при \( a = 1 \), так как функция \( f(x) = x^6 + 1 — |1 — x| \) имеет единственный нуль в точке \( x = 0 \). На \( x \geq 0 \) левая часть \( x^6 + 1 \) возрастает, а правая часть \( |1 — x| \) убывает на \( [0, 1] \) и возрастает на \( [1, \infty) \), но не пересекает левую часть больше одного раза. Из-за четности функции на \( x < 0 \) других корней также нет.

Ответ: \( a = 1 \).