ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении \( (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \) получили многочлен. Докажите, что этот многочлен не содержит одночленов нечётной степени.

Рассмотрим выражение \( (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \). Заметим, что первый множитель — это сумма геометрической прогрессии с чередующимися знаками, а второй — сумма геометрической прогрессии со всеми положительными знаками, обе до степени 20. При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых получим многочлен. Чтобы доказать, что в нём нет одночленов нечётной степени, рассмотрим функцию \( f(x) = (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \).

Подставим \( -x \): \( f(-x) = (1 — (-x) + (-x)^2 — (-x)^3 + \dots + (-x)^{20})(1 + (-x) + (-x)^2 +\)
\(+ \dots + (-x)^{20}) = (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20})(1 — x + x^2 -\)
\(- x^3 + \dots + x^{20}) = f(x) \). Значит, \( f(x) \) — чётная функция. У чётной функции коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, иначе \( f(-x) \) не равнялось бы \( f(x) \). Таким образом, в многочлене отсутствуют одночлены нечётной степени.

1) Рассмотрим заданное выражение \( (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \). Наша цель — доказать, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в полученном многочлене отсутствуют одночлены нечётной степени. Для этого мы используем свойство чётных функций, которое позволяет сделать вывод о структуре многочлена без необходимости прямого вычисления всех коэффициентов.

2) Определим функцию \( f(x) = (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \). Теперь проверим, является ли эта функция чётной. Для этого вычислим \( f(-x) \). Подставим \( -x \) в первый множитель: \( 1 — (-x) + (-x)^2 — (-x)^3 + \dots + (-x)^{20} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20} \), так как знаки чередуются в зависимости от степени, и при подстановке \( -x \) знаки меняются на противоположные, что приводит к положительным коэффициентам.

3) Теперь подставим \( -x \) во второй множитель: \( 1 + (-x) + (-x)^2 + \dots + (-x)^{20} = 1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20} \), поскольку здесь при нечётных степенях знак становится отрицательным, а при чётных остаётся положительным. Таким образом, \( f(-x) = (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20})(1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20}) \).

4) Заметим, что множители в \( f(-x) \) — это те же самые множители, что и в \( f(x) \), только поменялись местами. Поскольку умножение коммутативно, то \( f(-x) = (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{20})(1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20}) =\)
\(= (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) = f(x) \). Следовательно, \( f(-x) = f(x) \), а значит, функция \( f(x) \) является чётной.

5) Докажем, что если функция \( f(x) \) является чётной, то в её разложении в многочлен отсутствуют одночлены нечётной степени. Предположим, что в многочлене \( f(x) \) есть одночлен нечётной степени, например, \( a \cdot x^{2k+1} \), где \( a \neq 0 \), а \( 2k+1 \) — нечётная степень. Тогда при подстановке \( -x \) этот одночлен примет вид \( a \cdot (-x)^{2k+1} = a \cdot (-1)^{2k+1} \cdot x^{2k+1} = -a \cdot x^{2k+1} \), то есть знак изменится на противоположный.

6) При этом все одночлены чётной степени, такие как \( b \cdot x^{2m} \), при подстановке \( -x \) сохраняют знак, так как \( (-x)^{2m} = ((-x)^2)^m = (x^2)^m = x^{2m} \). Таким образом, если в \( f(x) \) есть хотя бы один одночлен нечётной степени, то \( f(-x) \) будет отличаться от \( f(x) \) знаком у этих одночленов, и функция не будет чётной.

7) Однако мы уже установили, что \( f(-x) = f(x) \), то есть функция чётная. Это противоречие показывает, что наше предположение о наличии одночленов нечётной степени неверно. Следовательно, в многочлене \( f(x) \) не может быть одночленов нечётной степени.

8) Таким образом, мы доказали, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении \( (1 — x + x^2 — x^3 + \dots + x^{20})(1 + x + x^2 + \dots + x^{20}) \) полученный многочлен не содержит одночленов нечётной степени, что и требовалось доказать.