ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( f \) нечётная. Может ли выполняться равенство:

1) \( f(1) + f(-1) = 1 \);

2) \( f(2) / f(-2) = 3 \);

3) \( f(2) / f(-2) = 0 \)?

1) \( f(1) + f(-1) = 1 \). Поскольку функция нечётная, \( f(-1) = -f(1) \), то \( f(1) + (-f(1)) = 0 \), а не 1. Ответ: нет.

2) \( f(2) / f(-2) = 3 \). Так как \( f(-2) = -f(2) \), то \( f(2) / (-f(2)) = -1 \), а не 3. Ответ: нет.

3) \( f(2) / f(-2) = 0 \). Подставляя \( f(-2) = -f(2) \), получаем \( f(2) / (-f(2)) = -1 \), а не 0. Ответ: нет.

1) Рассмотрим первое равенство \( f(1) + f(-1) = 1 \). Поскольку функция \( f \) является нечётной, по определению для любого \( x \) выполняется \( f(-x) = -f(x) \). Подставим \( x = 1 \), тогда \( f(-1) = -f(1) \). Теперь вычислим левую часть равенства: \( f(1) + f(-1) = f(1) + (-f(1)) = 0 \). Получаем, что \( 0 = 1 \), что является ложным утверждением. Следовательно, данное равенство не может выполняться для нечётной функции. Ответ: нет.

2) Перейдём ко второму равенству \( f(2) \cdot f(-2) = 3 \). Снова используем свойство нечётной функции: \( f(-2) = -f(2) \). Подставим это в выражение: \( f(2) \cdot f(-2) = f(2) \cdot (-f(2)) = — (f(2))^2 \). Согласно равенству, \( — (f(2))^2 = 3 \), что означает \( (f(2))^2 = -3 \). Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное равенство невозможно. Ответ: нет.

3) Наконец, рассмотрим третье равенство \( f(2) / f(-2) = 0 \). Используем свойство нечётности: \( f(-2) = -f(2) \). Тогда \( f(2) / f(-2) = f(2) / (-f(2)) = -1 \), при условии, что \( f(2) \neq 0 \). Получаем, что \( -1 = 0 \), что является ложным утверждением. Если же \( f(2) = 0 \), то \( f(-2) = -f(2) = 0 \), и выражение \( f(2) / f(-2) \) становится неопределённым, так как деление на ноль невозможно. В любом случае равенство не выполняется. Ответ: нет.