ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1) \( f(x) = 17 \);

2) \( f(x) = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — чётное;

3) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \);

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5} \);

5) \( f(x) = -13 \);

6) \( g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x — 2}{x^2 + x + 1} \).

1) \( f(x) = 17 \): \( f(-x) = 17 = f(x) \), функция чётная, так как значение не зависит от знака \( x \).

2) \( f(x) = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) чётное: \( f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x) \), функция чётная, так как чётная степень сохраняет значение.

3) \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \): \( f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 = -3x^2 + |x| — 1 = f(x) \), функция чётная, так как все слагаемые либо чётные, либо зависят от модуля.

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5} \): \( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5}=\)
\( = \sqrt{x^2 + 3x + 5} + \sqrt{x^2 — 3x + 5} = f(x) \), функция чётная, так как выражения под корнями меняются местами, но сумма остаётся той же.

5) \( f(x) = -13 \): \( f(-x) = -13 = f(x) \), функция чётная, так как значение константы не зависит от \( x \).

6) \( g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x — 2}{x^2 + x + 1} \): \( g(-x) = \frac{3(-x) + 2}{(-x)^2 — (-x) + 1} + \frac{3(-x) — 2}{(-x)^2 + (-x) + 1} =\)
\(= \frac{-3x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{-3x — 2}{x^2 — x + 1} = -\left( \frac{3x — 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x + 2}{x^2 + x + 1} \right) = -g(x) \), функция нечётная, так как замена \( x \) на \( -x \) даёт противоположное значение.

1) Для функции \( f(x) = 17 \) определим, является ли она чётной. Сначала найдём область определения: функция является константой, поэтому \( D(f) = (-\infty; +\infty) \). Область определения симметрична относительно нуля, так как включает все действительные числа.

Теперь проверим условие чётности: \( f(-x) = 17 \), что равно \( f(x) = 17 \). Таким образом, \( f(-x) = f(x) \), и функция удовлетворяет определению чётной функции.

Ответ: функция чётная.

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — чётное число. Определим область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \), так как степень определена для всех действительных чисел. Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим условие чётности: \( f(-x) = (-x)^n \). Поскольку \( n \) чётное, знак минус исчезает: \( (-x)^n = x^n = f(x) \). Следовательно, \( f(-x) = f(x) \), что соответствует определению чётной функции.

Ответ: функция чётная.

3) Для функции \( f(x) = -3x^2 + |x| — 1 \) найдём область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \), так как выражение определено для всех действительных чисел. Область определения симметрична.

Проверим условие чётности: \( f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| — 1 \). Учитывая, что \( (-x)^2 = x^2 \) и \( |-x| = |x| \), получаем \( f(-x) = -3x^2 + |x| — 1 = f(x) \). Условие \( f(-x) = f(x) \) выполняется, значит, функция чётная.

Ответ: функция чётная.

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x^2 — 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5} \). Сначала определим область определения. Для первого корня \( x^2 — 3x + 5 \geq 0 \), дискриминант \( D = 9 — 20 = -11 < 0 \), значит, выражение всегда положительно. Для второго корня \( x^2 + 3x + 5 \geq 0 \), дискриминант \( D = 9 — 20 = -11 < 0 \), также всегда положительно. Таким образом, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \), область симметрична.

Проверим условие чётности: \( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5} = \sqrt{x^2 + 3x + 5} +\)
\(+ \sqrt{x^2 — 3x + 5} \). Поскольку сумма слагаемых не зависит от порядка, \( f(-x) = f(x) \). Функция чётная.

Ответ: функция чётная.

5) Для функции \( f(x) = -13 \) определим область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \), так как это константа. Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим условие чётности: \( f(-x) = -13 = f(x) \). Условие \( f(-x) = f(x) \) выполняется, значит, функция чётная.

Ответ: функция чётная.

6) Рассмотрим функцию \( g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x — 2}{x^2 + x + 1} \). Определим область определения: знаменатели \( x^2 — x + 1 \) и \( x^2 + x + 1 \) не равны нулю. Дискриминант первого \( 1 — 4 = -3 < 0 \), второго тоже \( 1 — 4 = -3 < 0 \), значит, знаменатели всегда положительны. Таким образом, \( D(g) = (-\infty; +\infty) \), область симметрична.

Проверим условие чётности: \( g(-x) = \frac{3(-x) + 2}{(-x)^2 — (-x) + 1} + \frac{3(-x) — 2}{(-x)^2 + (-x) + 1} = \frac{-3x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{-3x — 2}{x^2 — x + 1} \). Перепишем: \( g(-x) = -\left( \frac{3x — 2}{x^2 — x + 1} + \frac{3x + 2}{x^2 + x + 1} \right) = -g(x) \). Условие \( g(-x) = -g(x) \) выполняется, значит, функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.