ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1) \( g(x) = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — нечётное;

2) \( g(x) = |x| \);

3) \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \);

4) \( g(x) = \sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x} \);

5) \( f(x) = \frac{1}{2} — 1 \);

6) \( f(x) = (x + 2)|x — 4| — (x — 2)|x + 4| \).

1) Для функции \( g(x) = x^n \), где \( n \) — нечётное, проверяем: \( g(-x) = (-x)^n = -x^n = -g(x) \). Ответ: нечётная.

2) Для функции \( g(x) = |x| \), проверяем: \( g(-x) = |-x| = |x| = g(x) \). Ответ: чётная.

3) Для функции \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \), проверяем: \( f(-x) = \sqrt{4 — (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 — x} = f(x) \). Ответ: чётная.

4) Для функции \( g(x) = \sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x} \), проверяем: \( g(-x) = \sqrt{3 — (-x)} — \sqrt{3 + (-x)} = \sqrt{3 + x} — \sqrt{3 — x} = -g(x) \). Ответ: нечётная.

5) Для функции \( f(x) = \frac{1}{2} — 1 \), это константа, проверяем: \( f(-x) = \frac{1}{2} — 1 = f(x) \). Ответ: чётная.

6) Для функции \( f(x) = (x + 2)|x — 4| — (x — 2)|x + 4| \), проверяем: \( f(-x) = (-x + 2)|-x — 4| — (-x — 2)|-x + 4|=\)

\( = (2 — x)|x + 4| — (-2 — x)|x — 4| = f(x) \) после упрощения. Ответ: чётная.

1) Рассмотрим функцию \( g(x) = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — нечётное число. Сначала определим область определения функции. Поскольку это полиномиальная функция, она определена на всей числовой оси, то есть \( D(g) = (-\infty; +\infty) \). Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим функцию на чётность. Для этого вычислим \( g(-x) \): \( g(-x) = (-x)^n \). Так как \( n \) — нечётное, то \( (-x)^n = -x^n = -g(x) \). Таким образом, \( g(-x) = -g(x) \), что соответствует определению нечётной функции. Ответ: функция нечётная.

2) Рассмотрим функцию \( g(x) = |x| \). Область определения функции — все действительные числа, кроме \( x = 0 \) в некоторых контекстах, но в данном случае \( D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), хотя фактически модуль определён и в нуле. Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим на чётность: \( g(-x) = |-x| = |x| = g(x) \). Условие \( g(-x) = g(x) \) выполняется, значит, функция чётная. Ответ: функция чётная.

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{4 — x} + \sqrt{4 + x} \). Найдём область определения. Для \( \sqrt{4 — x} \) требуется \( 4 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 4 \). Для \( \sqrt{4 + x} \) требуется \( 4 + x \geq 0 \), то есть \( x \geq -4 \). Таким образом, \( D(f) = [-4; 4] \). Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим на чётность: \( f(-x) = \sqrt{4 — (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 — x} = f(x) \). Условие \( f(-x) = f(x) \) выполняется, значит, функция чётная. Ответ: функция чётная.

4) Рассмотрим функцию \( g(x) = \sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x} \). Определим область определения. Для \( \sqrt{3 — x} \) нужно \( 3 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 3 \). Для \( \sqrt{3 + x} \) нужно \( 3 + x \geq 0 \), то есть \( x \geq -3 \). Также разность корней не должна обращаться в ноль в некоторых точках, но в данном случае \( D(g) = [-3; 0) \cup (0; 3] \) с учётом симметрии. Область определения симметрична.

Проверим на чётность: \( g(-x) = \sqrt{3 — (-x)} — \sqrt{3 + (-x)} = \sqrt{3 + x} — \sqrt{3 — x} =\)
\(= -(\sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x}) = -g(x) \). Условие \( g(-x) = -g(x) \) выполняется, значит, функция нечётная. Ответ: функция нечётная.

5) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{|5x — 2| + |5x + 2|}{x^2 — 1} \). Найдём область определения. Знаменатель \( x^2 — 1 \neq 0 \), то есть \( x^2 \neq 1 \), следовательно, \( x \neq \pm 1 \). Таким образом, \( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \). Область определения симметрична.

Проверим на чётность: \( f(-x) = \frac{|5(-x) — 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 — 1} = \frac{|-5x — 2| + |-5x + 2|}{x^2 — 1} = \frac{|5x + 2| + |5x — 2|}{x^2 — 1} = f(x) \). Условие \( f(-x) = f(x) \) выполняется, значит, функция чётная. Ответ: функция чётная.

6) Рассмотрим функцию \( f(x) = (x + 2)|x — 4| — (x — 2)|x + 4| \). Область определения — все действительные числа, то есть \( D(f) = (-\infty; +\infty) \). Область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим на чётность: \( f(-x) = ((-x) + 2)|-x — 4| — ((-x) — 2)|-x + 4| = (2 — x)|x + 4| -\)
\(- (-x — 2)|x — 4| \). После упрощения видно, что выражение совпадает с \( f(x) \), так как модули и знаки компенсируют замену. Условие \( f(-x) = f(x) \) выполняется, значит, функция чётная. Ответ: функция чётная.