ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:
1) \( y = \frac{x — 1}{x + 1} \);
2) \( y = \frac{1}{x} \);
3) \( y = \sqrt{x^2 — 1} \);
4) \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);
5) \( y = D(x) \);
6) \( y = x^3 \{x\} \).

1) \( y = \frac{x — 1}{x + 1} \): область определения \( x \neq -1 \), не симметрична относительно начала координат. Ответ: ни чётная, ни нечётная, так как область определения не позволяет проверить симметрию.

2) \( y = \frac{1}{x} \): область определения \( x \neq 0 \), симметрична. Проверяем: \( y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -y(x) \). Ответ: нечётная, так как функция удовлетворяет условию \( y(-x) = -y(x) \).

3) \( y = \sqrt{x^2 — 1} \): область определения \( x \leq -1 \) или \( x \geq 1 \), симметрична. Проверяем: \( y(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = y(x) \). Ответ: чётная, так как \( y(-x) = y(x) \).

4) \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \): область определения \( x \geq 1 \), не симметрична. Ответ: ни чётная, ни нечётная, из-за несимметричности области определения.

5) \( y = D(x) \): область определения \( (-\infty, +\infty) \), симметрична. Проверяем: \( y(-x) = D(-x) = D(x) = y(x) \). Ответ: чётная, так как \( y(-x) = y(x) \).

6) \( y = x^3 \{x\} \): область определения \( (-\infty, +\infty) \), симметрична. Проверяем: \( y(-x) = (-x)^3 \{ -x \} = -x^3 \{ -x \} = -y(x) \) (с учётом свойств дробной части). Ответ: нечётная, так как \( y(-x) = -y(x) \).

1) Для функции \( y = \frac{x — 1}{x + 1} \) определим область определения. Условие \( x + 1 \neq 0 \) означает, что \( x \neq -1 \). Таким образом, область определения \( D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \). Эта область не симметрична относительно начала координат, так как точка \( x = 1 \) входит в область, а \( x = -1 \) — нет. Уже на основании этого можно сделать вывод, что функция не может быть ни чётной, ни нечётной, так как симметрия области определения является необходимым условием.

Проверим дополнительно: подставим \( -x \) вместо \( x \), получим \( y(-x) = \frac{-x — 1}{-x + 1} = \frac{-(x + 1)}{-(x — 1)} = \frac{x + 1}{x — 1} \), что не равно ни \( y(x) \), ни \( -y(x) \). Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) Для функции \( y = \frac{1}{x} \) область определения определяется условием \( x \neq 0 \), то есть \( D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \). Эта область симметрична относительно начала координат, так как для любого \( x \neq 0 \) точка \( -x \) также принадлежит области.

Проверим свойство чётности: \( y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -y(x) \). Это соответствует определению нечётной функции. Ответ: функция нечётная.

3) Для функции \( y = \sqrt{x^2 — 1} \) определим область определения. Условие подкоренного выражения \( x^2 — 1 \geq 0 \) эквивалентно \( x^2 \geq 1 \), то есть \( x \leq -1 \) или \( x \geq 1 \). Таким образом, \( D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \). Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим чётность: \( y(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = y(x) \). Это соответствует определению чётной функции. Ответ: функция чётная.

4) Для функции \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \) найдём область определения. Условия подкоренных выражений: \( x — 1 \geq 0 \) и \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \) и \( x \geq -1 \). Итоговое условие: \( x \geq 1 \). Таким образом, \( D(y) = [1, +\infty) \). Эта область не симметрична относительно начала координат, так как для \( x = 1 \) точка \( -1 \) не входит в область.

На основании несимметричности области определения заключаем, что функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

5) Для функции \( y = D(x) \) область определения — вся числовая ось, то есть \( D(y) = (-\infty, +\infty) \). Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим чётность: \( y(-x) = D(-x) = D(x) = y(x) \), так как функция \( D(x) \) предполагает симметричное поведение (например, если это функция, заданная определённым образом). Это соответствует определению чётной функции. Ответ: функция чётная.

6) Для функции \( y = x^3 \{x\} \) область определения — вся числовая ось, то есть \( D(y) = (-\infty, +\infty) \), что симметрично относительно начала координат.

Проверим свойство нечётности: \( y(-x) = (-x)^3 \{ -x \} = -x^3 \{ -x \} \). Учитывая свойства дробной части \( \{ -x \} = 1 — \{ x \} \) при нецелом \( x \), получаем итоговое выражение, которое соответствует \( -y(x) \). Это удовлетворяет условию нечётной функции. Ответ: функция нечётная.