ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чётные функции \( f \) и \( g \) таковы, что функция \( h(x) = f(x)/g(x) \) определена. Исследуйте на чётность функцию \( h \).

Для функции \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), где \( f \) и \( g \) — чётные функции, проверим чётность. Подставим \( -x \): \( h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} \). Поскольку \( f \) и \( g \) чётные, то \( f(-x) = f(x) \) и \( g(-x) = g(x) \), следовательно, \( h(-x) = \frac{f(x)}{g(x)} = h(x) \). Значит, функция \( h(x) \) — чётная.

Для анализа чётности функции \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), где \( f(x) \) и \( g(x) \) являются чётными функциями, рассмотрим все условия и свойства, указанные в задании, шаг за шагом.

1) Область определения функции \( h(x) \) задаётся как пересечение областей определения функций \( f(x) \) и \( g(x) \), с учётом условия, что \( g(x) \neq 0 \). Таким образом, \( D(h) = D(f) \cap D(g) \cap \{ x \mid g(x) \neq 0 \} \). Это означает, что функция \( h(x) \) определена только там, где обе функции \( f(x) \) и \( g(x) \) определены, и знаменатель не равен нулю.

2) Множества \( D(f) \) и \( D(g) \), представляющие области определения функций \( f(x) \) и \( g(x) \), являются симметричными относительно начала координат. Это свойство вытекает из чётности функций, так как для чётных функций выполняется \( f(-x) = f(x) \) и \( g(-x) = g(x) \), а значит, если точка \( x \) входит в область определения, то и \( -x \) также входит в неё.

3) Если \( g(x) = 0 \) в некоторой точке \( x \), то, поскольку \( g(x) \) — чётная функция, выполняется \( g(-x) = g(x) = 0 \). Это означает, что нули функции \( g(x) \) также симметричны относительно начала координат, и в этих точках функция \( h(x) \) не определена.

4) Область определения функции \( h(x) \) симметрична, так как она является пересечением симметричных множеств \( D(f) \) и \( D(g) \), за исключением точек, где \( g(x) = 0 \), которые также симметричны. Теперь проверим чётность функции \( h(x) \): вычислим \( h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} \). Поскольку \( f(x) \) и \( g(x) \) — чётные функции, то \( f(-x) = f(x) \) и \( g(-x) = g(x) \), следовательно, \( h(-x) = \frac{f(x)}{g(x)} = h(x) \). Это показывает, что функция \( h(x) \) удовлетворяет условию чётности.

Таким образом, на основании проведённого анализа можно сделать вывод, что функция \( h(x) \) является чётной.