Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Нечётные функции \( f \) и \( g \) таковы, что функция \( h(x) = f(x)/g(x) \) определена. Исследуйте на чётность функцию \( h \).
Функция \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) является чётной. Поскольку \( f \) и \( g \) — нечётные функции, то \( f(-x) = -f(x) \) и \( g(-x) = -g(x) \). Тогда \( h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = h(x) \), что подтверждает чётность функции \( h \).
Даны нечётные функции \( f \) и \( g \), и определена функция \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \). Необходимо исследовать функцию \( h \) на чётность. Рассмотрим это шаг за шагом, следуя логике и свойствам нечётных функций.
1) Сначала определим область определения функции \( h \). Поскольку \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), функция определена там, где определены обе функции \( f \) и \( g \), и где знаменатель \( g(x) \neq 0 \). Таким образом, область определения \( D(h) = D(f) \cap D(g) \cap \{ x \mid g(x) \neq 0 \} \).
2) Учитывая, что \( f \) и \( g \) — нечётные функции, их области определения \( D(f) \) и \( D(g) \) симметричны относительно начала координат. Это означает, что если точка \( x \) принадлежит области определения, то и \( -x \) также принадлежит ей. Следовательно, область определения функции \( h \) также будет симметричной, так как она является пересечением симметричных множеств.
3) Рассмотрим поведение функции \( g \) в точках, где она равна нулю. Если \( g(x) = 0 \), то, поскольку \( g \) — нечётная функция, \( g(-x) = -g(x) = 0 \). Это подтверждает, что точки, в которых \( g \) обращается в ноль, также симметричны относительно начала координат, но они исключены из области определения \( h \).
4) Теперь исследуем чётность функции \( h \). Для этого вычислим \( h(-x) \). Поскольку \( f \) и \( g \) — нечётные функции, имеем \( f(-x) = -f(x) \) и \( g(-x) = -g(x) \). Тогда \( h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = h(x) \). Это показывает, что \( h(-x) = h(x) \), а значит, функция \( h \) является чётной.
Итак, на основании проведённого анализа заключаем, что функция \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \), где \( f \) и \( g \) — нечётные функции, является чётной.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.