ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 3.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Одна из функций \( f \) или \( g \) чётная, другая — нечётная. Известно, что функция \( h(x) = f(x) g(x) \) определена. Исследуйте на чётность функцию \( h \).

Функция \( h(x) = f(x) g(x) \) является нечётной. Если одна из функций \( f \) или \( g \) чётная, а другая нечётная, то их произведение всегда даёт нечётную функцию, так как \( h(-x) = f(-x) g(-x) = (\pm f(x)) (\mp g(x)) = -f(x) g(x) = -h(x) \).

Одна из функций \( f \) или \( g \) является чётной, а другая — нечётной. Нам нужно исследовать функцию \( h(x) = f(x) g(x) \) на чётность. Рассмотрим это шаг за шагом, учитывая свойства чётных и нечётных функций.

1) Область определения функции \( h(x) \) задаётся как пересечение областей определения функций \( f(x) \) и \( g(x) \), при условии, что \( g(x) \neq 0 \), если бы \( g(x) \) был в знаменателе, но в данном случае это не так, поскольку \( h(x) = f(x) g(x) \). Таким образом, область определения \( D(h) = D(f) \cap D(g) \), и она должна быть симметричной относительно начала координат, так как мы исследуем чётность.

2) Множества \( D(f) \) и \( D(g) \) должны быть симметричными относительно нуля, то есть если \( x \in D(f) \), то и \( -x \in D(f) \), и аналогично для \( D(g) \). Это необходимо для корректного определения значений функций при подстановке \( -x \).

3) Рассмотрим свойства функций \( f(x) \) и \( g(x) \). Одна из них чётная, другая нечётная. Чётная функция удовлетворяет условию \( f(-x) = f(x) \), а нечётная — условию \( g(-x) = -g(x) \) (или наоборот). Если \( g(x) = 0 \), то для нечётной функции \( g(-x) = -g(x) = 0 \), а для чётной функции \( f(-x) = f(x) = 0 \), если бы ноль был в области определения.

4) Теперь вычислим \( h(-x) \). Подставим \( -x \) в функцию \( h(x) = f(x) g(x) \), получим \( h(-x) = f(-x) g(-x) \). Рассмотрим два случая: первый — \( f(x) \) чётная, \( g(x) \) нечётная; второй — \( f(x) \) нечётная, \( g(x) \) чётная. В первом случае \( f(-x) = f(x) \), \( g(-x) = -g(x) \), следовательно, \( h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) g(x) = -h(x) \). Во втором случае \( f(-x) = -f(x) \), \( g(-x) = g(x) \), следовательно, \( h(-x) = (-f(x)) \cdot g(x) = -f(x) g(x) = -h(x) \). В обоих случаях \( h(-x) = -h(x) \), что означает, что функция \( h(x) \) является нечётной.

Таким образом, функция \( h(x) = f(x) g(x) \) всегда будет нечётной, если одна из функций чётная, а другая нечётная. Ответ: функция \( h(x) \) является нечётной.