ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму:
1) \(2 + 10 + 30 + … + n(n^2 + 1)\);
2) \(1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + … + n(n + 1)(n + 2)\).

1) Найти сумму: \( 2 + 10 + 30 + \dots + n(n^2 + 1) \); Запишем: \( k(k^2 + 1) = k^3 + k \); Тогда: \( S = 2 + 10 + 30 + \dots + n(n^2 + 1) \); \( S = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + \dots + (n^3 + n) \); \( S = (1 + 2 + 3 + \dots + n) + (1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3) \); \( S = \frac{n(n+1)}{2} + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \); \( S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} \); \( S = \frac{n(n+1)}{4} (2 + n(n+1)) \); \( S = \frac{n(n+1)}{4} (n^2 + n + 2) \).

2) Найти сумму: \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) \); Запишем: \( a = k(k+1)(k+2) = (k^2 + k)(k+2) \); \( a = k^3 + 2k^2 + k^2 + 2k = k^3 + 3k^2 + 2k \); Тогда: \( S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) \); \( S = (1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) + (2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) + \dots + (n^3 + 3n^2 + 2n) \); \( S = (1 + 2 + \dots + n) + 3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \dots + n^3) \); \( S = \frac{n(n+1)}{2} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \); \( S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} \); \( S = \frac{n(n+1)}{4} \left(2 + 2(2n+1) + n(n+1)\right) \); \( S = \frac{n(n+1)}{4} \left(2 + 4n + 2 + n^2 + n\right) \); \( S = \frac{n(n+1)}{4} \left(n^2 + 5n + 6\right) \); \( S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \).

1) Найти сумму: \( 2 + 10 + 30 + \dots + n(n^2 + 1) \). Для решения этой задачи разберем последовательность на составные части и найдем общую формулу суммы. Заметим, что каждый член последовательности можно записать как \( k(k^2 + 1) \), где \( k \) принимает значения от 1 до \( n \). Раскроем это выражение: \( k(k^2 + 1) = k^3 + k \). Таким образом, сумма \( S = 2 + 10 + 30 + \dots + n(n^2 + 1) \) эквивалентна \( S = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + \dots + (n^3 + n) \).

Теперь разделим сумму на две части: \( S = (1 + 2 + 3 + \dots + n) + (1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3) \). Известно, что сумма первых \( n \) натуральных чисел равна \( \frac{n(n+1)}{2} \), а сумма кубов первых \( n \) чисел равна \( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \). Подставим эти значения: \( S = \frac{n(n+1)}{2} + \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} \).

Приведем выражение к общему знаменателю: \( S = \frac{2n(n+1) + n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)[2 + n(n+1)]}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4} \). Таким образом, итоговая формула суммы: \( S = \frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4} \).

2) Найти сумму: \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) \). Рассмотрим общий член последовательности: \( a = k(k+1)(k+2) \). Раскроем это выражение: \( a = (k^2 + k)(k+2) = k^3 + 2k^2 + k^2 + 2k = k^3 + 3k^2 + 2k \). Тогда сумма \( S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) \) равна \( S = (1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) + (2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) + \dots + (n^3 + 3n^2 + 2n) \).

Разделим сумму на три части: \( S = (1 + 2 + \dots + n) + 3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \dots + n^3) \). Используем известные формулы: сумма чисел \( 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \), сумма квадратов \( 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \), сумма кубов \( 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \). Подставим: \( S = \frac{n(n+1)}{2} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{4} \).

Приведем к общему знаменателю 4: \( S = \frac{2n(n+1) + 2n(n+1)(2n+1) + n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)[2 + 2(2n+1) + n(n+1)]}{4} =\)
\(= \frac{n(n+1)[2 + 4n + 2 + n^2 + n]}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + 5n + 6)}{4} \). Заметим, что \( n^2 + 5n + 6 = (n+2)(n+3) \), следовательно, \( S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \). Итоговая формула суммы: \( S = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \).