ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}\).

1. Найти сумму: \(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)

1) Запишем: \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{(k+2) — k}{k(k+1)(k+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{k(k+1)} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)\)

2) Тогда: \(S = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 \cdot 2} — \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2 \cdot 3} — \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{n(n+1)} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 \cdot 2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\)

\(S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{4} — \frac{1}{2(n+1)(n+2)}\)

\(S = \frac{1}{4} — \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) — 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n + 2 — 2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)

1. Найти сумму: \(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). Наша задача состоит в том, чтобы вычислить эту сумму, представив ее в виде замкнутого выражения, зависящего от \(n\). Для этого мы будем использовать метод разложения на простые дроби и телескопическую сумму, чтобы упростить выражение.

1) Запишем общий член суммы \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) в виде разности более простых дробей. Предположим, что \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k+1} + \frac{c}{k+2}\). Умножим обе части на \(k(k+1)(k+2)\), чтобы избавиться от знаменателей: \(1 = a(k+1)(k+2) + b k (k+2) + c k (k+1)\). Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(1 = a(k^2 + 3k + 2) + b(k^2 + 2k) + c(k^2 + k) = (a + b + c)k^2 +\)
\(+ (3a + 2b + c)k + 2a\). Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях \(k\): для \(k^2\) имеем \(a + b + c = 0\), для \(k\) имеем \(3a + 2b + c = 0\), для свободного члена \(2a = 1\). Из последнего уравнения находим \(a = \frac{1}{2}\). Подставим \(a\) в другие уравнения: из \(3a + 2b + c = 0\) получаем \(\frac{3}{2} + 2b + c = 0\), а из \(a + b + c = 0\) имеем \(\frac{1}{2} + b + c = 0\), откуда \(c = -\frac{1}{2} — b\). Подставим \(c\) в предыдущее уравнение: \(\frac{3}{2} + 2b + (-\frac{1}{2} — b) = 0\), что дает \(b = -1\). Тогда \(c = -\frac{1}{2} — (-1) = \frac{1}{2}\). Однако, проверим: правильнее выразить через разность. Заметим, что \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{(k+2) — k}{k(k+1)(k+2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{k(k+1)(k+2)} \right) =\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{k(k+1)} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)\). Таким образом, \(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{k(k+1)} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)\).

2) Тогда сумма \(S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) может быть записана как \(S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{k(k+1)} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)\). Выпишем несколько первых членов суммы, чтобы увидеть телескопический характер: \(S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 \cdot 2} — \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2 \cdot 3} — \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{n(n+1)} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\). Заметим, что все промежуточные члены сокращаются, и остается только \(\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 \cdot 2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\).

Далее упростим выражение: \(\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{4} — \frac{1}{2(n+1)(n+2)}\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{1}{4} — \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2)}{4(n+1)(n+2)} — \frac{2}{4(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) — 2}{4(n+1)(n+2)}\). Раскроем числитель: \((n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2\), тогда \(n^2 + 3n + 2 — 2 = n^2 + 3n\). Таким образом, \(S = \frac{n^2 + 3n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\).

Итак, итоговое выражение для суммы: \(S = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\). Это замкнутое выражение полностью совпадает с результатом, представленным в исходном решении, и является конечным ответом на задачу.