ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + … + n \cdot a^{n-1}\), где \(a \neq 1\).

Найти сумму:
\( S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + \dots + n \cdot a^{n-1} \), где \( a \neq 1 \);
\( aS_n = a + 2a^2 + 3a^3 + 4a^4 + \dots + n \cdot a^n \);
\( aS_n = (1 + 2a + 3a^2 + \dots + n \cdot a^{n-1}) — (a + a^2 + \dots + a^n) + (n + 1)a^n — 1 \);
\( aS_n = S_n — \frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + na^n + a^n — 1 \);
\( aS_n — S_n = -\frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + na^n \);
\( (a — 1)S_n = -\frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + na^n \);
\( (a — 1)S_n = -\frac{a^{n+1} — a}{a — 1} + na^n \);
\( (a — 1)S_n = \frac{-a^{n+1} + a + na^n(a — 1)}{a — 1} \);
\( (a — 1)S_n = \frac{-a^{n+1} + a + na^{n+1} — na^n}{a — 1} \);
\( (a — 1)S_n = \frac{a^{n+1}(n — 1) — na^n + a}{a — 1} \);
\( S_n = \frac{a^{n+1}(n — 1) — na^n + a}{(a — 1)^2} \);
\( S_n = \frac{na^{n+1} — a^{n+1} — na^n + a}{(a — 1)^2} \);
\( S_n = \frac{na^{n+1} — na^n — a^{n+1} + a}{(a — 1)^2} \).

Найти сумму:
\( S_n = 1 + 2a + 3a^2 + 4a^3 + \dots + n \cdot a^{n-1} \), где \( a \neq 1 \). Наша цель — найти замкнутое выражение для этой суммы, используя метод умножения на \( a \) и вычитания. Разберем процесс пошагово.

Сначала запишем выражение для \( aS_n \), то есть умножим каждый член суммы на \( a \):
\( aS_n = a + 2a^2 + 3a^3 + 4a^4 + \dots + n \cdot a^n \).
Видно, что это почти та же сумма, но каждый член сдвинут на одну степень \( a \).

Теперь вычтем из \( aS_n \) исходную сумму \( S_n \), чтобы сократить большинство членов:
\( aS_n — S_n = (a + 2a^2 + 3a^3 + \dots + n \cdot a^n) — (1 + 2a + 3a^2 + \dots + n \cdot a^{n-1}) \).
При вычитании большинство членов сократятся, и останутся только:
\( aS_n — S_n = n \cdot a^n — 1 \).
Однако, чтобы получить более точное выражение, выразим \( S_n \) через известные суммы. Для этого представим \( aS_n \) через \( S_n \) и сумму геометрической прогрессии.

Рассмотрим, что \( aS_n = S_n — (1) + (a + 2a^2 + 3a^3 + \dots + n \cdot a^{n-1}) — (a + a^2 + \dots + a^{n-1}) +\)
\(+ (n \cdot a^n) \).
Сложнее, но точнее будет записать:
\( aS_n = S_n — 1 + (aS_n — S_n + 1 — n \cdot a^n) \), но лучше использовать сумму геометрической прогрессии. Сумма \( a + a^2 + \dots + a^n = \frac{a(a^n — 1)}{a — 1} \).
Тогда:
\( aS_n = S_n — 1 — \frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + (n + 1)a^n \), но пока упростим до:
\( aS_n — S_n = -\frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + n \cdot a^n \).

Выразим \( (a — 1)S_n = -\frac{a(a^n — 1)}{a — 1} + n \cdot a^n \).
Приведем правую часть к общему знаменателю:
\( (a — 1)S_n = \frac{-a^{n+1} + a}{a — 1} + n \cdot a^n = \frac{-a^{n+1} + a + n \cdot a^n (a — 1)}{a — 1} \).
Раскроем скобки:
\( (a — 1)S_n = \frac{-a^{n+1} + a + n \cdot a^{n+1} — n \cdot a^n}{a — 1} = \frac{a^{n+1}(n — 1) — n \cdot a^n + a}{a — 1} \).

Теперь умножим числитель и знаменатель на \( (a — 1) \), чтобы получить итоговое выражение:
\( S_n = \frac{a^{n+1}(n — 1) — n \cdot a^n + a}{(a — 1)^2} \).
Разложим числитель:
\( S_n = \frac{n \cdot a^{n+1} — a^{n+1} — n \cdot a^n + a}{(a — 1)^2} = \frac{n \cdot a^{n+1} — n \cdot a^n — a^{n+1} + a}{(a — 1)^2} \).

Таким образом, итоговая формула для суммы:
\( S_n = \frac{n \cdot a^{n+1} — n \cdot a^n — a^{n+1} + a}{(a — 1)^2} \).