ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{x^2 — (2a + 2)x + 6a — 3}{\sqrt{2 + x — x^2}} = 0\) имеет единственное решение?

1) Решения уравнения: \( x^2 — (2a + 2)x + (6a — 3) = 0 \); \( D = (2a + 2)^2 — 4(6a — 3) = 4a^2 + 8a + 4 — 24a + 12 \); \( D = 4a^2 — 16a + 16 = (2a — 4)^2 \), тогда: \( x_1 = \frac{(2a + 2) — (2a — 4)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \); \( x_2 = \frac{(2a + 2) + (2a — 4)}{2} = \frac{4a — 2}{2} = 2a — 1 \);

2) Область определения: \( 2 + x — x^2 > 0 \); \( x^2 — x — 2 < 0 \); \( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда: \( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \); \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \); \( (x + 1)(x - 2) < 0 \); \( -1 < x < 2 \); 3) Второй корень существует: \( -1 < 2a - 1 < 2 \); \( 0 < 2a < 3 \); \( 0 < a < 1.5 \); ОТВЕТ: \( a \in (0; 1.5) \).

1) Рассмотрим уравнение \( x^2 — (2a + 2)x + (6a — 3) = 0 \). Для нахождения корней этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -(2a + 2) \), \( c = 6a — 3 \). Подставим значения: \( D = (2a + 2)^2 — 4(6a — 3) \). Раскроем скобки: \( D = 4a^2 + 8a + 4 — 24a + 12 = 4a^2 — 16a + 16 \). Это выражение можно упростить до \( D = (2a — 4)^2 \). Поскольку дискриминант является квадратом, уравнение имеет два одинаковых корня.

Теперь найдем корни уравнения. Используем формулы для корней квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \) и \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \). Подставляя значения, получаем: \( x_1 = \frac{(2a + 2) — (2a — 4)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{(2a + 2) + (2a — 4)}{2} = \frac{4a — 2}{2} = 2a — 1 \).

2) Теперь рассмотрим область определения функции, заданной неравенством \( 2 + x — x^2 > 0 \). Перепишем это неравенство в стандартном виде: \( -x^2 + x + 2 > 0 \) или \( x^2 — x — 2 < 0 \). Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения. Дискриминант \( D \) равен \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Теперь находим корни: \( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \). Таким образом, мы имеем корни \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \). Для определения промежутков, на которых неравенство выполняется, рассмотрим знак произведения \( (x + 1)(x - 2) < 0 \). Анализируя знаки на интервалах \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) и \( (2, +\infty) \), мы можем установить, что неравенство выполняется на интервале \( -1 < x < 2 \). 3) Теперь проверим условия существования второго корня. Для этого необходимо, чтобы \( 2a - 1 \) находился в пределах, определенных неравенством \( -1 < 2a - 1 < 2 \). Разделим это неравенство на два отдельных: \( -1 < 2a - 1 \) и \( 2a - 1 < 2 \). Решим первое: \( 2a > 0 \), откуда \( a > 0 \). Теперь решим второе: \( 2a < 3 \), что дает \( a < 1.5 \). Объединив оба условия, получаем \( 0 < a < 1.5 \). Таким образом, окончательно мы имеем: \( a \in (0; 1.5) \).