ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(2(x^2 + x + 1)^2 — 7(x — 1)^2 = 13(x^3 — 1)\).

Решить уравнение:

\(2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)\)
\(2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x-1)(x^2+x+1)\)
\(2(x^2+x+1)^2+(x-1)(x^2+x+1)=7(x-1)^2+14(x-1)(x^2+x+1)\)
\((x^2+x+1)(2x^2+2x+2+x-1)=7(x-1)(x-1+2x^2+2x+2)\)
\((x^2+x+1)(2x^2+3x+1)=7(x-1)(2x^2+3x+1)\)
\((2x^2+3x+1)(x^2+x+1-(7x-7))=0\)
\((2x^2+3x+1)(x^2-6x+8)=0\)

1) Первое уравнение:
\(2x^2+3x+1=0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда:
\(x_1 = \frac{-3-1}{2\cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1\)
\(x_2 = \frac{-3+1}{2\cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5\)

2) Второе уравнение:
\(x^2 — 6x + 8 = 0\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{6-2}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{6+2}{2} = 4\)

Ответ: \(-1\), \(-0.5\), \(2\), \(4\).

Решим уравнение \(2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)\). Преобразуем его, подставляя \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), что позволяет упростить выражение. В результате получаем \(2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x-1)(x^2+x+1)\). Далее, перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить равенство: \(2(x^2+x+1)^2+(x-1)(x^2+x+1)=7(x-1)^2+14(x-1)(x^2+x+1)\).

Теперь можно вынести общий множитель из левой и правой части. Объединим выражения: \((x^2+x+1)(2x^2+2x+2+x-1)=7(x-1)(x-1+2x^2+2x+2)\). Упрощая, получаем \((x^2+x+1)(2x^2+3x+1)=7(x-1)(2x^2+3x+1)\). Дальше, если \(2x^2+3x+1 \neq 0\), можем сократить на этот множитель, что приводит к уравнению \(x^2+x+1-(7x-7)=0\).

Теперь решим два получившихся уравнения. Первое уравнение: \(2x^2+3x+1=0\). Для нахождения корней используем дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1\). Корни находятся по формуле: \(x_1 = \frac{-3 — \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — 1}{4} = -1\) и \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\).

Второе уравнение: \(x^2 — 6x + 8 = 0\). Находим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\). Корни вычисляем по формуле: \(x_1 = \frac{6 — \sqrt{D}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{6 + \sqrt{D}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\). Таким образом, окончательный ответ: \(-1\), \(-0.5\), \(2\), \(4\).