ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + … + n(n + 1)\).

1) Найти сумму: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)\);

2) Запишем: \(k(k + 1) = k^2 + k\);

3) Тогда: \(S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n + 1)\);
\(S = (1^2 + 1) + (2^2 + 2) + \dots + (n^2 + n)\);
\(S = (1 + 2 + \dots + n) + (1^2 + 2^2 + \dots + n^2)\);
\(S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\);
\(S = \frac{3n(n+1) + n(n+1)(2n+1)}{6}\);
\(S = \frac{n(n+1)[3 + 2n + 1]}{6}\);
\(S = \frac{n(n+1)(2n + 4)}{6}\);
\(S = \frac{n(n+1) \cdot 2(n + 2)}{6}\);
\(S = \frac{n(n+1)(n + 2)}{3}\).

1) Найти сумму: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)\).

2) Запишем выражение для общего члена суммы. Рассмотрим \(k\)-ый член последовательности, который равен \(k(k + 1)\). Это можно переписать как \(k(k + 1) = k^2 + k\). Таким образом, каждый член суммы раскладывается на сумму квадрата числа и самого числа.

3) Теперь запишем сумму \(S\) как последовательность членов от \(k=1\) до \(k=n\): \(S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n + 1)\). Используя разложение из предыдущего пункта, преобразуем это выражение: \(S = (1^2 + 1) + (2^2 + 2) + \dots + (n^2 + n)\). Это позволяет разделить сумму на две части: \(S = (1 + 2 + \dots + n) + (1^2 + 2^2 + \dots + n^2)\).

4) Далее используем известные формулы для суммы арифметической прогрессии и суммы квадратов первых \(n\) натуральных чисел. Сумма первых \(n\) чисел равна \(\frac{n(n+1)}{2}\), а сумма квадратов первых \(n\) чисел равна \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Подставим эти значения в выражение для \(S\): \(S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

5) Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6. Преобразуем первую дробь: \(\frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{6}\). Теперь сложим обе части: \(S = \frac{3n(n+1)}{6} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{3n(n+1) + n(n+1)(2n+1)}{6}\).

6) Вынесем общий множитель \(n(n+1)\) в числителе: \(S = \frac{n(n+1)[3 + (2n + 1)]}{6}\). Упростим выражение внутри скобок: \(3 + 2n + 1 = 2n + 4\). Таким образом, \(S = \frac{n(n+1)(2n + 4)}{6}\).

7) Заметим, что \(2n + 4 = 2(n + 2)\), поэтому можем записать: \(S = \frac{n(n+1) \cdot 2(n + 2)}{6}\). Сократим 2 и 6, так как \(6 = 2 \cdot 3\), и получим: \(S = \frac{n(n+1)(n + 2)}{3}\).

8) Итак, итоговая формула для суммы \(S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1)\) имеет вид: \(S = \frac{n(n+1)(n + 2)}{3}\).