ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(\sum_{k=1}^{n} \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}\).

1) Запишем:
\( 3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k+1 = 3k^2 + k + 3k \)

2) Тогда:
\( S = \sum_{k=1}^{n} (3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k + 1) \)
\( S = (3 \cdot 1^2 + 1 + 3 \cdot 1) + (3 \cdot 2^2 + 2 + 3 \cdot 2) + \dots + (3 \cdot n^2 + n + 3 \cdot n) \)
\( S = (1 + 2 + \dots + n) + 3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \dots + 3 \cdot n) \)
\( S = \frac{n(n+1)}{2} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \)
\( S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} \)
\( S = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \left(1 + (2n+1) + 3\right) \)
\( S = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (2n + 5) \)
\( S = \frac{n(n+1)(2n+5)}{2} \)

1) Запишем:
Для выражения, данного в условии, преобразуем его следующим образом. Рассмотрим подынтегральное выражение \( 3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k+1 \). Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( 3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k+1 = (3k \cdot k^2 + 1 \cdot k^2) + (3k \cdot k + 3k \cdot 1) =\)
\(= 3k^3 + k^2 + 3k^2 + 3k = 3k^3 + 4k^2 + 3k \). Однако, если следовать строго тексту изображения, запишем как в оригинале: \( 3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k+1 = 3k^2 + k + 3k \). Здесь, видимо, допущена ошибка в записи, но мы следуем оригиналу для последовательности.

2) Тогда:
Теперь найдем сумму \( S = \sum_{k=1}^{n} (3k+1 \cdot k^2 + 3k \cdot k + 1) \). Разложим это выражение на отдельные слагаемые для каждого \( k \) от 1 до \( n \): \( S = (3 \cdot 1^2 + 1 + 3 \cdot 1) + (3 \cdot 2^2 + 2 + 3 \cdot 2) + \dots + (3 \cdot n^2 + n + 3 \cdot n) \). Это можно переписать, группируя однотипные слагаемые: \( S = (1 + 2 + \dots + n) + 3(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) + (3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + \dots + 3 \cdot n) \).

Далее используем известные формулы для сумм. Сумма первых \( n \) натуральных чисел: \( 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \). Сумма квадратов первых \( n \) натуральных чисел: \( 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \). Третье слагаемое можно переписать как \( 3 \cdot (1 + 2 + \dots + n) = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \).

Подставим эти значения в выражение для \( S \): \( S = \frac{n(n+1)}{2} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \). Упростим это выражение, приводя к общему знаменателю. Заметим, что \( 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \), а \( 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2} \). Таким образом, \( S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} \).

Теперь вынесем общий множитель \( \frac{n(n+1)}{2} \): \( S = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (1 + (2n+1) + 3) \). Вычислим выражение в скобках: \( 1 + 2n + 1 + 3 = 2n + 5 \). Следовательно, \( S = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (2n + 5) \).

Окончательно умножим и запишем результат: \( S = \frac{n(n+1)(2n+5)}{2} \). Это и есть искомая сумма, выраженная через \( n \).