ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму \(\sum_{k=1}^{n} \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}\).

Найти сумму:
\(\sum_{k=1}^n \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}\);

1) Запишем:
\(\frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k} = 3k^2 + k + \frac{1}{3^k}\);

2) Тогда:
\(S = \sum_{k=1}^n \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}\);

\(S = (3 \cdot 1^2 + 1 + \frac{1}{3^1}) + (3 \cdot 2^2 + 2 + \frac{1}{3^2}) + \cdots + (3n^2 + n + \frac{1}{3^n})\);

\(S = (1 + 2 + \cdots + n) + 3(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + \left(\frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}\right)\);

\(S = \frac{1+n}{2} \cdot n + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{1}{3} \left(\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^n — 1}{\frac{1}{3} — 1}\right)\);

\(S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{\frac{1}{3^n} — 1}{1 — 3}\);

\(S = \frac{n(n+1)(1 + 2n + 1)}{2} — \frac{\frac{1}{3^n} — 1}{2}\);

\(S = \frac{2n(n+1)^2}{2} + \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n} = n(n+1)^2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n}\);

Рассмотрим сумму \(S = \sum_{k=1}^n \frac{3^{k+1} \cdot k^2 + 3^k \cdot k + 1}{3^k}\). Первым шагом упростим выражение под знаком суммы. Заметим, что знаменатель \(3^k\) можно разделить на каждый член числителя отдельно. Тогда получаем:
\(\frac{3^{k+1} \cdot k^2}{3^k} + \frac{3^k \cdot k}{3^k} + \frac{1}{3^k} = 3 \cdot k^2 + k + \frac{1}{3^k}\). Это упрощение позволяет заменить исходную сумму на сумму более простых членов.

Теперь можно переписать сумму как:
\(S = \sum_{k=1}^n \left(3k^2 + k + \frac{1}{3^k}\right) = \sum_{k=1}^n 3k^2 + \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k}\). Таким образом, исходная сумма разбивается на три отдельные суммы: сумма квадратов с коэффициентом 3, сумма натуральных чисел и сумма убывающей геометрической прогрессии.

Для вычисления каждой из этих сумм воспользуемся известными формулами. Сумма первых \(n\) натуральных чисел равна \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\). Сумма квадратов первых \(n\) чисел равна \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Сумма геометрической прогрессии с первым членом \(\frac{1}{3}\) и знаменателем \(\frac{1}{3}\) равна \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 — \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 — \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{3^n}\right)\).

Подставим все эти значения обратно в сумму:
\(S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{3^n}\right)\). Упростим выражение:
\(S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n}\).

Далее объединим первые два слагаемых:
\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1 + 1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+2)}{2} = \frac{n(n+1) \cdot 2 (n+1)}{2} =\)
\(= n(n+1)^2\).

Итоговое выражение для суммы:
\(S = n(n+1)^2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3^n}\). Таким образом, мы получили компактную формулу для исходной суммы, выраженную через \(n\), которая учитывает квадраты, линейные члены и геометрическую прогрессию.