ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму:
1) \(9 + 99 + 999 + … + \frac{99…9}{n}\);
2) \(5 + 55 + 555 + … + \frac{55…5}{n}\)

1) \( S = 9 + 99 + 999 + \dots + 99\dots9 \);
\( S = 9(10^1 — 1) + 9(10^2 — 1) + 9(10^3 — 1) + \dots + 9(10^n — 1) \);
\( S = 9 \left( (10 — 1) + (10^2 — 1) + (10^3 — 1) + \dots + (10^n — 1) \right) \);
\( S = 9 \left( (10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — n \right) \);
\( S = 9 \left( \frac{10(10^n — 1)}{10 — 1} — n \right) \);
\( S = 9 \left( \frac{10(10^n — 1)}{9} — n \right) \);
\( S = 10(10^n — 1) — 9n \).

2) \( S = 5 + 55 + 555 + \dots + 55\dots5 \);
\( S = 5(10^1 — 1) + 5(10^2 — 1) + 5(10^3 — 1) + \dots + 5(10^n — 1) \);
\( S = 5 \left( (10 — 1) + (10^2 — 1) + (10^3 — 1) + \dots + (10^n — 1) \right) \);
\( S = 5 \left( (10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — n \right) \);
\( S = 5 \left( \frac{10(10^n — 1)}{10 — 1} — n \right) \);
\( S = 5 \left( \frac{10(10^n — 1)}{9} — n \right) \);
\( S = \frac{50(10^n — 1)}{9} — 5n \).

1) Рассмотрим сумму \( S = 9 + 99 + 999 + \dots + 99\dots9 \), где каждый член последовательности состоит из цифры 9, повторяющейся от 1 до \( n \) раз. Наша цель — найти общую формулу для этой суммы.

Заметим, что каждый член последовательности можно представить в виде \( 9 \cdot (10^k — 1) \), где \( k \) — это количество цифр в числе. Например, для \( k=1 \): \( 9 = 9 \cdot (10^1 — 1) \); для \( k=2 \): \( 99 = 9 \cdot (10^2 — 1) \); для \( k=3 \): \( 999 = 9 \cdot (10^3 — 1) \), и так далее до \( k=n \).

Таким образом, сумму можно записать как \( S = 9 \cdot (10^1 — 1) + 9 \cdot (10^2 — 1) + 9 \cdot (10^3 — 1) + \dots + 9 \cdot (10^n — 1) \). Вынося общий множитель 9 за скобки, получаем \( S = 9 \cdot \left( (10^1 — 1) + (10^2 — 1) + (10^3 — 1) + \dots + (10^n — 1) \right) \).

Теперь упростим выражение внутри скобок. Разделим его на две части: \( (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — (1 + 1 + 1 + \dots + 1) \), где второе слагаемое — это \( n \) единиц. Итак, \( S = 9 \cdot \left( (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — n \right) \).

Первая часть суммы — это геометрическая прогрессия с первым членом 10 и отношением 10. Формула суммы геометрической прогрессии: \( 10 + 10^2 + \dots + 10^n = 10 \cdot \frac{10^n — 1}{10 — 1} = \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} \). Подставим это в выражение для \( S \): \( S = 9 \cdot \left( \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} — n \right) \).

Сокращаем 9 в числителе и знаменателе: \( S = 10 \cdot (10^n — 1) — 9n \). Это и есть итоговая формула для суммы.

2) Теперь рассмотрим сумму \( S = 5 + 55 + 555 + \dots + 55\dots5 \), где каждый член последовательности состоит из цифры 5, повторяющейся от 1 до \( n \) раз. Наша цель — найти общую формулу для этой суммы.

Каждый член последовательности можно представить как \( 5 \cdot (10^k — 1) \), где \( k \) — количество цифр в числе. Например, для \( k=1 \): \( 5 = 5 \cdot (10^1 — 1) \); для \( k=2 \): \( 55 = 5 \cdot (10^2 — 1) \); для \( k=3 \): \( 555 = 5 \cdot (10^3 — 1) \), и так далее до \( k=n \).

Таким образом, сумму можно записать как \( S = 5 \cdot (10^1 — 1) + 5 \cdot (10^2 — 1) + 5 \cdot (10^3 — 1) + \dots + 5 \cdot (10^n — 1) \). Вынося общий множитель 5 за скобки, получаем \( S = 5 \cdot \left( (10^1 — 1) + (10^2 — 1) + (10^3 — 1) + \dots + (10^n — 1) \right) \).

Упростим выражение внутри скобок: \( (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — (1 + 1 + 1 + \dots + 1) \), где второе слагаемое — это \( n \) единиц. Итак, \( S = 5 \cdot \left( (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) — n \right) \).

Первая часть суммы — это геометрическая прогрессия с первым членом 10 и отношением 10. Используем формулу суммы: \( 10 + 10^2 + \dots + 10^n = \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{10 — 1} = \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} \). Подставим это в выражение для \( S \): \( S = 5 \cdot \left( \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} — n \right) \).

Раскроем скобки: \( S = \frac{5 \cdot 10 \cdot (10^n — 1)}{9} — 5n = \frac{50 \cdot (10^n — 1)}{9} — 5n \). Это итоговая формула для суммы.