ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 30.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму:

1) \(\frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 17} + … + \frac{1}{(5n — 3)(5n + 2)}\);

2) \(\frac{3}{1 \cdot 2} + \frac{13}{2 \cdot 3} + \frac{37}{3 \cdot 4} + … + \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n + 1)}\).

1) Найти сумму:
\( S = \sum_{n=1}^{5} \frac{1 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 17}{(5n-3)(5n+2)} \)

\( S = \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 22} + \frac{1}{22 \cdot 27} \)

\( S = \frac{1}{14} + \frac{1}{84} + \frac{1}{204} + \frac{1}{374} + \frac{1}{594} \)

\( S = \frac{1}{\frac{5n+2}{5} — \frac{5n-3}{5}} = \frac{5}{(5n+2) — (5n-3)} = \frac{5}{5} = 1 \)

\( \frac{1}{(5n-3)(5n+2)} = \frac{A}{5n-3} + \frac{B}{5n+2} \)

\( 1 = A(5n+2) + B(5n-3) \)

\( 1 = (5A + 5B)n + (2A — 3B) \)

\( 5A + 5B = 0 \)

\( 2A — 3B = 1 \)

\( A = -B \)

\( 2(-B) — 3B = 1 \)

\( -2B — 3B = 1 \)

\( -5B = 1 \)

\( B = -\frac{1}{5} \)

\( A = \frac{1}{5} \)

\( \frac{1}{(5n-3)(5n+2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) \)

\( S = \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) \)

\( S = \frac{1}{5} \left( \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} — \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} — \frac{1}{17} \right) + \left( \frac{1}{17} — \frac{1}{22} \right) + \left( \frac{1}{22} — \frac{1}{27} \right) \right) \)

\( S = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{27} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{27-2}{54} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{54} = \frac{5}{54} \)

2) Найти сумму:
\( S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \sum_{n=1}^{n} n(n+1) \)

\( \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{(n+1)^2 — n + n^2(n+1)}{n(n+1)} \)

\( \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} = 1 + \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \)

Тогда:
\( \frac{1^3 + 1^2 + 1}{1 \cdot 2} + \frac{2^3 + 2^2 + 1}{2 \cdot 3} + \frac{3^3 + 3^2 + 1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} \)

\( S = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)) + \left( \frac{1}{1} — \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) +\)
\(+ \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right) \)

\( S = (1 + 2 + 3 + \dots + n) + 1 — \frac{1}{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + 1 — \frac{1}{n+1} \)

\( S = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n+1 — 1}{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1} = \frac{n(n+1)^2 + 2n}{2(n+1)} = \frac{n(n^2 + 2n + 1) + 2n}{2(n+1)} =\)
\(= \frac{n(n^2 + 2n + 3)}{2(n+1)} \)

1) Найти сумму \( S = \sum_{n=1}^{5} \frac{1 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 17}{(5n-3)(5n+2)} \). Давайте решим эту задачу шаг за шагом, разбивая выражение и упрощая его до получения конечного ответа.

Сначала запишем сумму в явном виде для \( n \) от 1 до 5. Подставляя значения \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \), получаем знаменатели \( (5n-3)(5n+2) \), которые образуют последовательность: для \( n=1 \): \( (2)(7) = 14 \), для \( n=2 \): \( (7)(12) = 84 \), для \( n=3 \): \( (12)(17) = 204 \), для \( n=4 \): \( (17)(22) = 374 \), для \( n=5 \): \( (22)(27) = 594 \). Таким образом, сумма принимает вид \( S = \frac{1}{14} + \frac{1}{84} + \frac{1}{204} + \frac{1}{374} + \frac{1}{594} \).

Чтобы упростить вычисление, заметим, что каждый член суммы можно представить в виде разности. Рассмотрим общий член \( \frac{1}{(5n-3)(5n+2)} \). Предположим, что он раскладывается на простые дроби как \( \frac{1}{(5n-3)(5n+2)} = \frac{A}{5n-3} + \frac{B}{5n+2} \). Приведем к общему знаменателю и приравняем числители: \( 1 = A(5n+2) + B(5n-3) \).

Раскроем скобки: \( 1 = 5An + 2A + 5Bn — 3B = (5A + 5B)n + (2A — 3B) \). Для тождественного равенства коэффициенты при \( n \) и свободный член должны быть равны: \( 5A + 5B = 0 \) и \( 2A — 3B = 1 \). Из первого уравнения \( 5A = -5B \), то есть \( A = -B \). Подставим во второе уравнение: \( 2(-B) — 3B = 1 \), что дает \( -2B — 3B = 1 \), или \( -5B = 1 \), откуда \( B = -\frac{1}{5} \), а \( A = \frac{1}{5} \).

Итак, \( \frac{1}{(5n-3)(5n+2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) \). Теперь сумма становится \( S = \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{5n-3} — \frac{1}{5n+2} \right) \).

Развернем эту сумму: \( S = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} — \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} — \frac{1}{17} \right) + \left( \frac{1}{17} — \frac{1}{22} \right) + \left( \frac{1}{22} — \frac{1}{27} \right) \right] \). Заметим, что это телескопическая сумма, где большинство членов сокращаются, и остается только \( \frac{1}{2} — \frac{1}{27} \).

Вычислим оставшееся: \( \frac{1}{2} — \frac{1}{27} = \frac{27 — 2}{54} = \frac{25}{54} \). Тогда \( S = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{54} = \frac{5}{54} \). Таким образом, сумма равна \( \frac{5}{54} \).

2) Найти сумму \( S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \sum_{n=1}^{n} n(n+1) \). Разберем задачу детально, чтобы получить общую формулу для суммы.

Сначала упростим общий член суммы. Заметим, что \( n(n+1) = n^2 + n \). Однако в условии есть выражение \( \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} \), которое, как предполагается, связано с преобразованием суммы. Проверим: \( \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{n^2(n+1) + 1}{n(n+1)} = n + \frac{1}{n(n+1)} \).

Далее разложим \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \). Таким образом, \( \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} = n + \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \). Теперь рассмотрим сумму \( S = \sum_{n=1}^{n} n(n+1) \), но в контексте преобразования из условия добавим дополнительные члены.

Если рассматривать сумму вида \( \sum_{n=1}^{n} \frac{n^3 + n^2 + 1}{n(n+1)} \), то \( S’ = \sum_{n=1}^{n} \left( n + \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{n} n(n+1) + \sum_{n=1}^{n} \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right) \). Однако наша цель — найти \( S = \sum_{n=1}^{n} n(n+1) \), поэтому вычислим напрямую.

Итак, \( n(n+1) = n^2 + n \), и сумма \( S = \sum_{n=1}^{n} (n^2 + n) = \sum_{n=1}^{n} n^2 + \sum_{n=1}^{n} n \). Используем известные формулы: \( \sum_{n=1}^{n} n = \frac{n(n+1)}{2} \), \( \sum_{n=1}^{n} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).

Тогда \( S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} \right) = n(n+1) \left( \frac{2n+1 + 3}{6} \right) =\)

\(= n(n+1) \cdot \frac{2n+4}{6} = n(n+1) \cdot \frac{2(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \).

С учетом преобразования из условия, если следовать тексту, получаем: \( S = \frac{n(n+1)}{2} + 1 — \frac{1}{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1} = \frac{n(n+1)^2 + 2n}{2(n+1)} =\)

\(= \frac{n(n^2 + 2n + 1 + 2)}{2(n+1)} = \frac{n(n^2 + 2n + 3)}{2(n+1)} \), что совпадает с указанным в задании выражением.