ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 31.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \(27^6 — 9^7\) кратно \(48\).

Докажите, что значение выражения кратно 48:

\(2^{76} — 9^{7} = (3^{3})^{6} — (3^{2})^{7} = 3^{18} — 3^{14} = 3^{14} \cdot (3^{4} — 1) = \)
\(3^{14} \cdot (81 — 1) = 3^{13} \cdot 3 \cdot 80 = 3^{13} \cdot 240 = 48 \cdot (3^{13} \cdot 5) : 48\)

Что и требовалось доказать.

1. Докажем, что значение выражения \(2^{76} — 9^{7}\) кратно 48:
\(2^{76} — 9^{7} = (3^{3})^{6} — (3^{2})^{7} = 3^{18} — 3^{14} = 3^{14} \cdot (3^{4} — 1) = \)
2. \(3^{14} \cdot (81 — 1) = 3^{13} \cdot 3 \cdot 80 = 3^{13} \cdot 240 = 48 \cdot (3^{13} \cdot 5) : 48\)
3. Таким образом, мы видим, что выражение \(2^{76} — 9^{7}\) делится на 48 без остатка, что и требовалось доказать.
4. Для этого мы последовательно преобразовывали выражение, используя свойства степеней: \(2^{76} = (3^{3})^{6}\) и \(9^{7} = (3^{2})^{7}\). Затем мы вычли \(3^{14}\) из \(3^{18}\), что дало \(3^{14} \cdot (3^{4} — 1)\).
5. Далее мы упростили это выражение, используя тот факт, что \(3^{4} — 1 = 80\), и, следовательно, \(3^{14} \cdot (3^{4} — 1) = 3^{13} \cdot 3 \cdot 80 = 3^{13} \cdot 240 = 48 \cdot (3^{13} \cdot 5) : 48\), что и доказывает, что исходное выражение кратно 48.