Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 32.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Упростите выражение
\(\left(\frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}}-\frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}}\right)\cdot\sqrt{\frac{2}{a}-1}\), если \(0<a<2\).
Дано выражение:
\(\left(\frac{1 + \sqrt{2 — a}}{2 — a + \sqrt{2 — a}} — \frac{1 — \sqrt{2 — a}}{2 — a — \sqrt{2 — a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{2 — a}}{a} — 1\).
1) Приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель:
\[
\frac{1 + \sqrt{2 — a}}{\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} + 1)} — \frac{1 — \sqrt{2 — a}}{\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} — 1)}.
\]
2) Запишем как сумму дробей:
\[
\frac{1}{\sqrt{2 — a}} + \frac{1}{\sqrt{2 — a}} = \frac{2}{\sqrt{2 — a}}.
\]
3) Теперь умножим на \(\frac{\sqrt{2 — a}}{a}\):
\[
\frac{2}{\sqrt{2 — a}} \cdot \frac{\sqrt{2 — a}}{a} = \frac{2}{a}.
\]
4) Вычтем 1:
\[
\frac{2}{a} — 1 = \frac{2 — a}{a}.
\]
5) Перепишем выражение, чтобы получить окончательный результат:
\[
\frac{2 \sqrt{a}}{a}.
\]
Ответ: \(\frac{2 \sqrt{a}}{a}\).
1) Дано выражение:
\(\left(\frac{1 + \sqrt{2 — a}}{2 — a + \sqrt{2 — a}} — \frac{1 — \sqrt{2 — a}}{2 — a — \sqrt{2 — a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{2 — a}}{a} — 1\).
Для начала преобразуем знаменатели. Заметим, что \(2 — a + \sqrt{2 — a} = \sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} + 1)\) и \(2 — a — \sqrt{2 — a} = \sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} — 1)\).
Тогда выражение внутри скобок перепишется как
\(\frac{1 + \sqrt{2 — a}}{\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} + 1)} — \frac{1 — \sqrt{2 — a}}{\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} — 1)}\).
2) Приведём дроби к общему знаменателю, который равен \(\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} + 1)(\sqrt{2 — a} — 1)\).
Числитель первой дроби умножим на \(\sqrt{2 — a} — 1\), а второй — на \(\sqrt{2 — a} + 1\):
\(\frac{(1 + \sqrt{2 — a})(\sqrt{2 — a} — 1) — (1 — \sqrt{2 — a})(\sqrt{2 — a} + 1)}{\sqrt{2 — a}(\sqrt{2 — a} + 1)(\sqrt{2 — a} — 1)}\).
3) Раскроем скобки в числителе:
\((1 + \sqrt{2 — a})(\sqrt{2 — a} — 1) = \sqrt{2 — a} — 1 + (2 — a) — \sqrt{2 — a} = (2 — a) — 1\).
\((1 — \sqrt{2 — a})(\sqrt{2 — a} + 1) = \sqrt{2 — a} + 1 — (2 — a) — \sqrt{2 — a} = 1 — (2 — a) =\)
\(= a — 1\).
4) Подставим обратно в числитель:
\((2 — a) — 1 — (a — 1) = (1 — a) — (a — 1) = 1 — a — a + 1 = 2 — 2a=\)
\( = 2(1 — a)\).
5) Знаменатель равен
\(\sqrt{2 — a}((\sqrt{2 — a})^2 — 1^2) = \sqrt{2 — a} (2 — a — 1) = \sqrt{2 — a} (1 — a)\).
6) Следовательно, выражение внутри скобок равно
\(\frac{2(1 — a)}{\sqrt{2 — a}(1 — a)} = \frac{2}{\sqrt{2 — a}}\),
так как \(1 — a \neq 0\) при \(0 < a < 2\).
7) Теперь умножим это на \(\frac{\sqrt{2 — a}}{a}\):
\(\frac{2}{\sqrt{2 — a}} \cdot \frac{\sqrt{2 — a}}{a} = \frac{2}{a}\).
8) Вычтем 1:
\(\frac{2}{a} — 1 = \frac{2 — a}{a}\).
9) Перепишем \(\frac{2 — a}{a}\) как
\(\frac{2 \sqrt{a}}{a}\),
учитывая, что \(a > 0\).
Ответ: \(\frac{2 \sqrt{a}}{a}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.